二次函数的实际应用-几何问题知识点题库

如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）²﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．
（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣ $\text{[math]}$ ），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

如图所示，已知抛物线经过点A（－2，0）、B（4，0）、C（0，－8），抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≠0）与直线y＝x－4交于B ， D两点．

（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F ，交抛物线于点G ．当△QDG为直角三角形时，求点Q的坐标．

已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图．

（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣ $\text{[math]}$ x²+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0， $\text{[math]}$ ），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．

（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．

用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成（）

A . 1.5m，1m B . 1m，0.5m C . 2m，1m D . 2m，0.5m

两个等腰直角三角形如图放置，∠B=∠CAD=90°，AB=BC= $\text{[math]}$ cm，AC=AD，垂直于CD的直线a从点C出发，以每秒 $\text{[math]}$ cm的速度沿CD方向匀速平移，与CD交于点E，与折线BAD交于点F；与此同时，点G从点D出发，以每秒1cm的速度沿着DA的方向运动；当点G落在直线a上，点G与直线a同时停止运动；设运动时间为t秒（t>0）.

（1）填空：CD=cm；
（2）连接EG、FG，设△EFG的面积为y，求y与t之间的函数关系式，并写出相应t的取值范围；
（3）是否存在某一时刻t（0<t<2），作∠ADC的平分线DM交EF于点M，是否存在点M是EF的中点？若存在，求此时的t值；若不存在，请说明理由。

如图，二次函数 y＝ax²﹣2ax+c(a＞0)的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，它的顶点为 P，直线 CP 与过点B 且垂直于 x 轴的直线交于点 D，且 CP：PD＝1：2，tan∠PDB＝ $\text{[math]}$ ．

（1）则 A、B 两点的坐标分别为 A(，)； B(，)；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M 使|MC﹣MB|的值最大，则点M 的坐标为．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 $\text{[math]}$ 经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E,F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B,O,E,F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标.

如图，一直角三角形的直角顶点P在边长为1的正方形ABCD对角线AC上运动（点P与A、C两点不重合）且它的一条直角边始终经过点D，另一直角边与射线BC交于点E.

（1）当点E在BC边上时，
①求证：△PBC≌△PDC；

②判断△PBE的形状，并说明理由；
（2）设AP＝x，△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

如图，在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值.

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已知抛物线y=x²-2x-m+1(m为常数，m>0)与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧)，点P为抛物线在第四象限上的一点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点D在对称轴上，PD=m，取HD的中点C，连结CP、BP，若PH平分∠BPC，BP=2PC，则m的值是( )

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A(2，0)、B(6，0)，与y轴交于点C(0，6)，顶点为D，连结AC，作直线BC，点E是抛物线对称轴上的一个动点。

（1）求出抛物线的解析式。
（2）若∠BCE=∠OCA，求点E的坐标。
（3）在(2)的条件下，延长CE交抛物线于点F，直接写出所有满足△GBD∽△FBC的点G的坐标。

长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x>0），面积为 $\text{[math]}$ ，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，有一块铁片下脚料，其外轮廓中的曲线是抛物线的一部分，要裁出一个等边三角形，使其一个顶点与抛物线的顶点重合，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长（结果精确到

，

）.

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如图,有长为24米的篱笆，一面利用墙(图中的阴影部分就是墙，墙的最大可利用长度为9米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃. 花圃的宽AB为x米,面积为S平方米．

（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当x为多少时,围成的花圃面积最大？最大面积是多少？

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1:y= $\text{[math]}$ +bx+c过点C(0，−3)，与抛物线L2:y=− $\text{[math]}$ − $\text{[math]}$ x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点.

（1）求抛物线L1对应的函数表达式；
（2）若以点A.C. P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，3），顶点为C.平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE.

（1）求原抛物线对应的函数表达式；
（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F的坐标；
（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标.

如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB的长为x米，矩形绿化带的面积为S平方米.

（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）求围成矩形绿化带ABCD面积S的最大值.

已知AB = BC，∠ABC = 90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．

（1）如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，
①求证：CE +DE =AD；
②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；
（2）在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．

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