题目

综合与探究 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．直线 与抛物线交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ． （1） 请直接写出 ， 两点的坐标及直线 的函数表达式； （2） 若点 是抛物线上的点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴，垂足为 ． 与直线 交于点 ，当点 是线段 的三等分点时，求点 的坐标； （3） 若点 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标． 答案： 令 14x2−x−3=0, ∴x2−4x−12=0,   ∴(x−6)(x+2)=0,   ∴x1=−2,x2=6.   ∴   A(−2,0) ， B(6,0) ， 设直线 l 的函数表达式为： y=kx+b ， 把 A(−2,0),D(4,−3) 代入得： {−2k+b=04k+b=−3   解得： {k=−12b=−1 直线 l 的函数表达式为： y=−12x−1 ． 解：如图，根据题意可知，点 P 与点 N 的坐标分别为 P(m,14m2−m−3) ， N(m,−12m−1) ． PM=|14m2−m−3|=−14m2+m+3 MN=|−12m−1|=12m+1 ， NP=(−12m−1)−(14m2−m−3)=−14m2+12m+2 ， 分两种情况： ①当 PM=3MN 时，得 −14m2+m+3=3(12m+1) ． 解得： m1=0 ， m2=−2 （舍去） 当 m=0 时， 14m2−m−3=−3 ． ∴ 点 P 的坐标为 (0,−3) ②当 PM=3NP 时，得 −14m2+m+3=3(−14m2+12m+2) ． 解得： m1=3 ， m2=−2 （舍去） 当 m=3 时， 14m2−m−3=−154 ∴ 点 P 的坐标为 (3,−154) ． ∴ 当点 N 是线段 PM 的三等分点时，点 P 的坐标为 (0,−3) 或 (3,−154) 解： ∵ 直线 y=−12x−1 与 y 轴交于点 E ， ∴ 点 E 坐标为 (0,−1) ． 分两种情况： ①如图，当点 Q 在 y 轴正半轴上时，记为点 Q1 ． 过点 Q1 作 Q1H⊥ 直线 l ，垂足为 H ．则 ∠Q1HE=∠AOE=90° ， ∵∠Q1EH=∠AEO ， ∴△Q1HE∼△AOE ． ∴Q1HAO=HEOE 即 Q1H2=HE1 ∴Q1H=2HE ． 又 ∵∠Q1DH=45° ， ∠Q1HD=90° ， ∴∠HQ1D=∠Q1DH=45° ∴DH=Q1H=2HE ． ∴HE=ED 连接 CD ， ∵ 点 C 的坐标为 (0,−3) ，点 D 的坐标为 (4,−3) ， ∴CD⊥y 轴 ∴ED=EC2+CD2=[−1−(−3)]2+42=25 ． HE=25 ， Q1H=45 ． ∴Q1E=HE2+Q1H2=(25)2+(45)2=10 ． ∴OQ1=Q1E−OE=10−1=9 ． ∴ 点 Q1 的坐标为 (0,9) ． ②如图，当点 Q 在 y 轴负半轴上时，记为点 Q2 ．过点 Q2 作 Q2G⊥ 直线 l ，垂足为 G ， 则 ∠Q2GE=∠AOE=90° ， ∵∠Q2EG=∠AEO ， ∴△Q2GE~△AOE ． ∴Q2GAO=EGOE ． 即 Q2G2=EG1 ∴Q2G=2EG ． 又 ∵∠Q2DG=45° ， ∠Q2GD=90° ， ∴∠DQ2G=∠Q2DG=45° ∴DG=Q2G=2EG ． ∴ED=EG+DG=3EG ． 由①可知， ED=25 ． ∴3EG=25 ． ∴EG=253 ． ∴Q2G=453 ∴EQ2=EG2+Q2G2=(253)2+(453)2=103 ． ∴OQ2=OE+EQ2=1+103=133 ∴ 点 Q2 的坐标为 (0,−133) ∴ 点 Q 的坐标为 (0,9) 或 (0,−133) ．

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