题目

在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于点C. （1） 求抛物线的表达式； （2） 如图，直线 与抛物线交于A,D两点，与直线 于点E.若 是线段 上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线 于点G，交直线 于点H. ①当点F在直线 上方的抛物线上，且 时，求m的值； ②在平面内是否在点P，使四边形 为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解： ∵ 抛物线 y=−13x2+bx+c 经过 A(−3,0),B(4,0) 两点， ∴{−3−3b+c=0−163+4b=c=0 ，解得 {b=13c=4 ， ∴ 抛物线的表达式为 y=−13x2+13x+4 . 解：①方法1： 如图1，过点O作 OR⊥AD 于点R，过点F作 FQ⊥AD 于点Q， 设直线 AD 与y轴交点为N. ∵M(m,0) ，直线 FG⊥x 轴， ∴G(m,34m+94) ， F(m,−13m2+13m+4) ， ∴FG=−13m2+13m+4−(34m+94) =−13m2−512m+74 ， 由一次函数 y=34x+94 可以求出点N坐标为 (0,94) ， 在 Rt△AON 中， OA=3 ， ON=94 ， ∴AN=OA2+ON2=154 ， ∵S△AON=12OA⋅ON=12AN⋅OR ， ∴OR=OA⋅ONAN=3×94154=95 . ∵S△EFG=12EG⋅FQ ， S△OEG=12EG⋅OR ， ∴12EG⋅FQ=59×12EG⋅OR ， ∴FQ=59OR=1 . ∵∠FGQ=∠AGM ，MH平行于y轴， ∴∠AGM=∠ANO ， ∴∠FGQ=∠ANO ， ∴sin∠FGQ=FQFG=sin∠ANO=OAAN=45 ， ∴FG=FQ45=54 ， ∴−13m2−512m+74=54 ， 解得 m1=34 ， m2=−2 . 联立抛物线和一次函数，得： −13x2+13x+4=34x+94 ， 解得 x1=74 ， x2=−3 ， 则可知此时求出的点F都在直线AD上方的抛物线上， ∴m 的值为 34 或 −2 . 方法2： 如图1，过点O作 OR⊥AD 于点R，过点F作 FQ⊥AD 于点Q，设直线 AD 与y轴交点为N. 则 N(0,94) ， ON=94 ， ∵M(m,0) ，直线 FG⊥x 轴， ∴G(m,34m+94) ， F(m,−13m2+13m+4) ， ∴FG=−13m2+13m+4−(34m+94) =−13m2−512m+74 ， ∵S△EFG=12EG⋅FQ ， S△OEG=12EG⋅OR ， ∴12EG⋅FQ=59×12EG⋅OR ， ∴FQOR=59 ， ∵OR⊥AD ， FQ⊥AD ， ∴∠FQG=∠ORN=90° ， 由题意可得， FM//y 轴，则 ∠FGQ=∠ONR ， ∴△FGQ∼△ONR ， ∴FGON=FQOR=59 ， ∴FG=59ON=59×94=54 ， ∴13m2−512m+74=54 ， 解得 m1=34,m2=−2 ， 联立抛物线和一次函数，得： −13x2+13x+4=34x+94 ， 解得 x1=74 ， x2=−3 ， 则可知此时求出的点F都在直线AD上方的抛物线上， ∴m 的值为 34 或 −2 . ②存在.点P的坐标为 (1,7+132) 或 (1,7−132) . （写对一个得2分） 如图2， ∵ B（4，0），C（0，4）， ∴ 直线BC的解析式为： y=−x+4 ， 联立直线AD与直线BC的方程得： 34x+94=−x+4 ， 解得 x=1 ， ∴ E（1，3）. 若四边形EFHP是正方形， 则 yF=yE=3 ， ∴−13x2+13x+4=3 ，解得 x=1±132 ， ∴F1(1−132,3) ， F2(1+132,3) ， ∵ EF1=1−1−132=1+132 ， ∴EP1=EF1=1+132 ， ∴yP1=3+1+132=7+132 . ∴P1(1,7+132) ， 同理可得： EF2=1+132−1=13−12 ， ∴EP2=EF2=13−12 ， ∴yP2=3−13−12=7−132 ∴P2(1,7−132) . ∴ 点P的坐标为 (1,7+132) 或 (1,7−132) .

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