题目

如图，直线y＝x＋b与抛物线y＝ x2＋ x＋c相交于点A（6，8）与点B，P是线段AB的中点，D是抛物线上的一个动点，直线DP交x轴于点C．          （1） 分别求出这两个函数的关系式，并写出点B，P的坐标． （2） 四边形ACBD能否成为平行四边形？若能，请求出线段OC的长度；若不能，请说明理由． （3） 当点D的坐标为（4，2）时，△APD是什么特殊三角形？请说明理由，并写出所有符合这一特殊性的点D的坐标． 答案： 解：把点A的坐标分别代入y＝x＋b和y＝ 14 x2＋ 12 x＋c，得b＝2，c＝－4，∴y＝x＋2，y＝ 14 x2＋ 12 x－4，点B，P的坐标分别为（－4，－2），（1，3） 解：作PE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，则DF＝2PE＝6，当y＝6时， 14 x2＋ 12 x－4＝6，解得x＝－1± 41 ，当点C在直线AB的左侧时，OF＝ 41 －1，∴CE＝EF＝OF－OE＝( 41 －1)－1＝ 41 －2．∴OC＝CE－OE＝( 41 －2)－1＝ 41 －3．当点C在直线AB的左侧时，OF＝ 41 ＋1，∴CE＝EF＝OF＋OE＝( 41 ＋1)＋1＝ 41 ＋2，∴OC＝CE＋OE＝( 41 ＋2)＋1＝ 41 ＋3．综上所述，OC＝ 41 －3或 41 ＋3 解：当点D的坐标为（4，2）时，△APD是直角三角形，理由如下：如图，作PE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，AG⊥BC于G，过点D作MN分别垂直AG，PE于M，N，则EN＝DF＝MG＝2，DN＝EF＝OF－OE＝3，DM＝FG＝6－4＝2，AM＝AG－MG＝6．∴DP＝ 41 ，AD＝2 10 ，∵AP＝5 2 ，∴DP2＋AD2＝AP2，∴∠ADP＝90º，即△APD是直角三角形（用相似证明同样给分），符合△APD是直角三角的点D还有：（－12，26），（－3＋ 41 ，7－ 41 ），（－3－ 41 ，7＋ 41 ）

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