题目

如图所示，将抛物线y＝ x2沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线． （1） 直接写出新抛物线的解析式为； （2） 设新抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，顶点为D，作CE⊥CD交抛物线于E，如图所示，探究如下问题： ①求点E的坐标； ②若一次函数y＝kx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F，连接DE，猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数y＝kx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明． 答案： 【1】y＝ （x﹣2）2﹣1 解：①y＝ 12 （x﹣2）2﹣1， 令x＝0，则y＝1，则点C坐标为（0，1），顶点D的坐标为（2，﹣1）， 把点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b， 解得：k＝﹣1，b＝1，则：CD解析式为：y＝﹣x+1； ∵CD⊥CE， ∴CE的解析式为：y＝x+1…②， 联立①②并解得：x＝6（已舍去不合题意的值）， ∴E（6，7）； ②将一次函数表达式y＝kx+1与二次函数表达式联立得： 12 （x﹣2）2﹣1＝kx+1， △＝b2﹣4ac＝0，解得：k＝﹣2，则一次函数的表达式为：y＝﹣2x+1， 当x＝2时，y＝﹣3，即：点F坐标为：（2，﹣3）； 将直线CF向上平移两个单位过点D，此时一次函数为：y＝﹣2x+3， 而E关于对称轴的点的坐标为：E'（﹣2，7）， 当x＝﹣2时，y＝7，故：点E′在一次函数上y＝﹣2x+3， ∴△DEE'是等腰三角形，所以两角相等

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