题目

已知点为抛物线上一动点，以为顶点，且经过原点的抛物线，记作“ ”，设其与轴另一交点为，点的横坐标为．（1） ①当为直角三角形时，求的值. ②当为等边三角形时，求此时“ ”的解析式. （2）若点的横坐标分别为1，2，3，…… （为正整数）时，抛物线“ ”，分别记作“ ”，“ ”…“ ”，设其与轴另一交点分别为，， … ，过，，，…，作轴的垂线，垂足分别为，，，…，． ①求的坐标和的坐标；（用含的代数式表示） ②当时，求的值； ③是否存在这样的，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．答案：解：①∵ P 为“ yP ”顶点， △OPA 为直角三角形， ∴ △OPA 是以P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴P（m，m），代入 y=12x2 得： m=12m2(m≠0) ， ∴ m=2 ； ②如图1，过 P 作 PH⊥x 轴于 H ，当 △OPA 是等边三角形时， PH=3OH ， ∴P（m， 3m ），代入 y=12x2 得： 3m=12m2(m≠0) ， ∴ m=23 ， ∴ P(23,6) ， A(43,0) ，设“ yP ”的解析式为： y=a(x−23)2+6 ，将 A(43,0) 代入得， 0=a(43−23)2+6 ，解得： a=−12 ， ∴“ yP ”的解析式为： y=−12(x−23)2+6=−12x2+23x−6 解：①∵点 P 为抛物线 y=12x2(x>0) 上的点， ∴ Pn(n,12n2) ， OAn=2n ； ②∵ PnHn−OAn=16 ， ∴ 12n2−2n=16 ，即 n2−4n−32=0 ，解得： n1=−4 （舍去）， n2=8 ， ∴ n=8 ； ③存在，如图，当 ∠OP4An=90° 时， P4H4⊥OAn ， ∴ ∠O=90°−∠OP4H4=∠1 ， ∵ H4 坐标为 (4,0) ，把 x=4 代入 y=12x2 ，得 y=8 ， ∴ P4 坐标为 (4,8) ， ∴ P4H4=8 ， ∴ tan∠O=2=tan∠1 ， ∵ OAn=2n ， ∴ H4An=2P4H4=2×8=16 ， ∴ 2n−4=16 ， ∴ n=10 ．

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