题目

如图1，抛物线y=﹣ x2+ x+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线的对称轴于点D． （1） 求点D的坐标； （2） 如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ⊥BC于Q，当PQ的长度最大时，在线段BC上找一点M（不与点B、点C重合），使PM+ BM的值最小，求点M的坐标及PM+ BM的最小值； （3） 抛物线的顶点为点E，平移抛物线，使抛物线的顶点E在直线AE上移动，点A，E平移后的对应点分别为点A′、E′．在平面内有一动点F，当以点A′、E′、B、F为顶点的四边形为菱形时，求出点A′的坐标． 答案： 解：当y=0时，﹣ 65 x2+ 455 x+2=0，解得x1= 5 ，x2=﹣ 53 ，即A（﹣ 53 ，0），B（ 5 ，0），当x=0时，y=2，即C（0，2），直线BC的解析式为y=﹣ 255 x+2，直线AD的解析式为y=﹣ 255 x﹣ 23 ，抛物线的对称轴为x=﹣ b2a = 53 ，当x= 53 时，y=﹣ 255 x﹣ 23 =﹣ 43 ，即D点坐标为（ 53 ，﹣ 43 ） 解：如图1，作PF∥y轴交BC于F，则△PQF∽△BOC，∴ PQPF = BOBC = 53即PQ= 53 PF设P（t，﹣ 65 t2+ 455 t+2），F（t， 255 t+2）∴PF=﹣ 65 t2+ 655 t当t= 52 时，PF取最大值，PQ取最大值，此时P（ 52 ， 52 ）作MN⊥x轴于N，则△BMN∽△BOC，∴ MNBM = OCBC = 23即MN= 23 BM，则当P，M，N共线时，PM+ 23 BM=PN= 52 ，M（ 52 ，1） 解：如图2所示，1）当A′E′=A′B，A′E′∥BF1，A′E′=BF1时四边形A′E′F1B是菱形，此时A1′（ 53 ， 83 ），A2′（﹣ 23563 ，﹣ 863 ）；2）当A′E′=E′B，A′E′∥BF2，A′E′=BF2时四边形A′E′F2B是菱形，此时A3′（﹣ 53 ，0），A4′（﹣ 65563 ，﹣ 17663 ）；3）当A′B=E′B，A′F3∥BE′，A′F3=BE′时四边形A′F3E′B是菱形，此时A5′（﹣ 22563 ，﹣ 463 ）．

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