28.2 解直角三角形及其应用知识点题库

如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条7m的钢缆，则地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（精确到0.01m， $\text{[math]}$ ≈2.4495 ， $\text{[math]}$ ≈8.6023）是（　　）

A . 8.60m B . 4.90m C . 4.88m D . 2.00m

为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据，则该坡道倾斜角α的正切值是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，⊙O与直线l₁相离，圆心O到直线l₁的距离OB=2 $\text{[math]}$ ，OA=4，将直线l₁绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l₂刚好与⊙O相切于点C，则OC=．

定义：在△ABC中，∠C=30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．请解答下列问题：

已知：在△ABC中，∠C=30°．

（1）若∠A=45°，求thi A的值；
（2）若thi A= $\text{[math]}$ ，则∠A=°；
（3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系．

如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2 $\text{[math]}$ 米处的点C出发，沿斜面坡度i=1： $\text{[math]}$ 的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈ $\text{[math]}$ ，cos37°≈ $\text{[math]}$ ，tan37°≈ $\text{[math]}$ ．计算结果保留根号）

已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为（备用数据：tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6）

如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．

（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\text{[math]}$ =1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，sin A= $\text{[math]}$

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（1）求AB的长;
（2）若点E在Rt△ABC的直角边上，点F在斜边AB上，当△CFE∽△ABC时，求CE的长.

如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个根，且OA＞OB

（1）求cos∠ABC的值。
（2）若E为轴上的点，且 $\text{[math]}$ ，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO是否相似？请说明理由。

如图，小东在楼AB的顶部A处测得该楼正前方旗杆CD的顶端C的俯角为 $\text{[math]}$ ，在楼AB的底部B处测得旗杆CD的顶端C的仰角为 $\text{[math]}$ ，已知旗杆CD的高度为12m，根据测得的数据，计算楼AB的高度 $\text{[math]}$ 结果保留整数，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

如图1是某体育看台侧面的示意图，观众区AC的坡度i=1：2，顶端C离水平地面AB的高度为15m，顶棚外沿处的点E恰好在点A的正上方，从D处看E处的仰角α=30°，竖直的立杆上C，D两点间的距离为5m。

（1）求观众区的水平宽度AB。
（2）求图1中点E离水平地面的高度EA。
（3）因为遮阳需要，现将顶棚ED绕D点逆时针转动11°30'，若E点在地面上的铅直投影是点F（图2），求AF。（sin11°30'≈0.20，cos11°30'≈0.98，tan11°30'≈0.20；sin18°30'≈0.32，cos18°30'≈0.95，tan18°30'≈0.33，结果精确到0.1m）

图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均垂直于地面，扇形的圆心角 $\text{[math]}$ ，半径 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在同一水平线上，且它们之间的距离为 $\text{[math]}$ ．

（1）求闸机通道的宽度，即 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的 $\text{[math]}$ 倍， $\text{[math]}$ 人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约 $\text{[math]}$ 分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．

在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）如图①，点 $\text{[math]}$ 的坐标为（，），点 $\text{[math]}$ 的坐标为（，）， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
（2）如图②，若点 $\text{[math]}$ 是经过点 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 轴平行的直线上的一个动点，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
（3）如图③，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 的下方作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题：

（1）观察图①~图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是.
（2）如图⑤，在 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，能否求出BC的长度？如果能，请求出BC的长度；如果不能，请说明理由.（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）

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如图，升国旗时，某同学在离国旗18米处行注目礼，当国旗上升至顶端时，该同学视线的仰角为α°，已知双眼离地面1.6米，则旗杆AB的高度为（）

A . 18tanα米 B . （18sinα+1.6）米 C . （ $\text{[math]}$ +1.6）米 D . （18tanα+1.6）米

图1是上下都安装“摩擦铰链”的平开窗，滑轨MN固定在窗框，托悬臂CF安装在窗上.A，D，E分别是MN，CF，AD上固定的点，且BC=DE.当窗户开到最大时，CF⊥MN，且点C到MN的距离为8cm，此时主轴AD与MN的夹角∠DAN=45°.如图2，窗户从开到最大到关闭（CF，AD，BC，BE与MN重合）的过程中，控制臂BC，带动MN上的滑块B向点N滑动了30cm.则

（1） BE和CD的数量关系是；
（2） AD的长为cm.

如图，1号楼在2号楼的南侧，楼间距为AB.冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD=35m.请求出两楼之间的距离AB的长度（结果保留整数）

（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）

安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，如图①是悬挂着巨大匾额的琅琊阁，如图②，线段 $\text{[math]}$ 是悬挂在墙壁 $\text{[math]}$ 上的匾额的截面示意图，已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ，从水平地面点 $\text{[math]}$ 处看点 $\text{[math]}$ ，仰角 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，从点 $\text{[math]}$ 处看点 $\text{[math]}$ ，仰角 $\text{[math]}$ ．且 $\text{[math]}$ 米，求匾额悬挂的高度 $\text{[math]}$ 的长．（结果精确到0.1米，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

已知 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 上一点．

（1）如图①，连接AD ， BD ， CD ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的度数；
（2）如图②，若 $\text{[math]}$ ，垂足为点E ，连接DC ，过点D作 $\text{[math]}$ 的切线与BC的延长线交于点F ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

28.2 解直角三角形及其应用 知识点题库

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