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初中数学

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，我们把线段EF称为梯形ABCD的中位线，通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论．

已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，AB＝24.若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒.

（1）当t＝1时，写出数轴上点B，P所表示的数；
（2）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问当t为何值点P与点Q相距3个单位长度？
（3）若点O到点M，N其中一个点的距离是到另一个点距离的2倍，则称点O是[M，N]的“好点”，设点C是点A，B的中点，点P，Q分别从A，B两点同时出发，点P向左运动到C点时返回到A点时停止，动点Q一直向右运动到A点后停止运动，求当t为何值时，点C为[P，Q]的“好点”？

如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是.

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如图

（1） [问题背景]如图1，在△ABC中，AB＝AC ， ∠BAC＝α°，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转α°得到AE ，连接EC ，则∠BCE＝°（用含α的式子表示），线段BC ， DC ， EC之间满足的等量关系式为；
（2） [探究证明]如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC ， D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE ，连接DE ，求证：BD²+CD²＝2AD²；
（3） [拓展延伸]如图3，在四边形ABCF中，∠ABC＝∠ACB＝∠AFC＝45°，BF＝3，CF＝1．将△ABF绕点A逆时针旋转90°，试画出旋转后的图形，并求出AF的长度．（不要求尺规作图）

如图，点P为⊙O外一点，点A、B在圆上，PA，PB交优弧AB于点C， D，若∠AOB= $\text{[math]}$ ，则判断∠APB大小正确的是（）

A . ∠APB= $\text{[math]}$ B . ∠APB > $\text{[math]}$ C . ∠APB < $\text{[math]}$ D . 不能确定

类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“邻好四边形”．

（1）概念理解：
如图1，在四边形 $\text{[math]}$ 中，添加一个条件，使得四边形 $\text{[math]}$ 是“邻好四边形”，请写出你添加的一个条件；
（2）概念延伸：
下列说法正确的是．(填入相应的序号)

①对角线互相平分的“邻好四边形”是菱形；

②一组对边平行，另一组对边相等的“邻好四边形”是菱形；

③有两个内角为直角的“邻好四边形”是正方形；

④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“邻好四边形”是正方形；
（3）问题探究：
如图 $\text{[math]}$ ，小红画了一个 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 方向平移得到 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，要使平移后的四边形 $\text{[math]}$ 是“邻好四边形”应平移多少距离(即线段 $\text{[math]}$ 的长)？

下列哪些线段能组成三角形（）

①3cm、3cm、5cm ②3cm、3cm、3cm ③2cm、2cm、4cm ④3cm、5cm、9cm

A . ①② B . ③④ C . ①②③ D . ①②③④

如图， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 位似，点O为位似中心．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的周长比是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线 $\text{[math]}$ 等反射以后沿着与直线 $\text{[math]}$ 平行的方向射出，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）°