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高中数学

2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为 $\text{[math]}$ ；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中 $\text{[math]}$ ．

（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望 $\text{[math]}$ 的取值范围．

已知 $\text{[math]}$ ，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义计算 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 2

函数 $\text{[math]}$ 的零点所在区间是（）

A . $\text{[math]}$ B . （0,1） C . (1,2) D . （2,3）

已知函数f（x）=cosx•sin（x+ $\text{[math]}$ ）﹣ $\text{[math]}$ cos²x+ $\text{[math]}$ ，x∈R．

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在闭区间[﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的最大值和最小值．

已知多项式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

已知F，G为椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点，过点G的直线交椭圆于A，B两点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是.

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）若点 $\text{[math]}$ 都在椭圆 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ （不包括端点）上.
①求直线 $\text{[math]}$ 的斜率；

②求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

已知数列{a_n}是各项为正数的等比数列，且a₂=9，a₄=81．

（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=log₃a_n ，求证：数列{b_n}是等差数列．

将某省参加数学竞赛预赛的500名同学编号为：001,002， $\text{[math]}$ ，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的的号码013为一个样本，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

若一直线a在平面α内，则正确的图形是 ( )

A .

B .

C .

D .

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，BC= $\text{[math]}$ ，AB=AC=AA₁=1，D是棱CC₁上的一点，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点，且PB₁∥平面BDA₁ ．

（1）求证：CD=C₁D；
（2）求二面角A₁﹣B₁D﹣P的平面角的正弦值．

如图，矩形 $\text{[math]}$ 中边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴重合， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .从原点 $\text{[math]}$ 射出的光线 $\text{[math]}$ 经 $\text{[math]}$ 反射到 $\text{[math]}$ 上，再经 $\text{[math]}$ 反射到 $\text{[math]}$ 上点 $\text{[math]}$ 处.

①若 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为；

②若点 $\text{[math]}$ 恰为线段 $\text{[math]}$ 中点，则 $\text{[math]}$ 的斜率为．

根据下列条件解三角形，有两解的有（）

A . 已知a $\text{[math]}$ ，b＝2，B＝45° B . 已知a＝2，b $\text{[math]}$ ，A＝45° C . 已知b＝3，c $\text{[math]}$ ，C＝60° D . 已知a＝2 $\text{[math]}$ ，c＝4，A＝45°

已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的元素个数为（）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

已知抛物线C：y=2x² ，直线l：y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线C于点N．

（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（2）是否存在实数k使以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值，若不存在，说明理由．

如图是函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ 的图象，则下面判断正确的是（）

图片_x0020_100006

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是减函数 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得极小值