题目

（本题满分16分） 设函数. （Ⅰ） 判断在区间上的增减性并证明之； （Ⅱ） 若不等式≤≤对恒成立, 求实数的取值范围M； （Ⅲ）设≤≤，且，求证：≥. 答案：解：(Ⅰ)∵  ∴…1分     设 则  ……2分 ∴在上为减函数  又    时，， ∴ ∴在上是减函数                        ………4分 (Ⅱ)∵ ∴或时  ∴…………………………6分 又≤≤对一切恒成立 ，∴≤≤      ……………8分 （Ⅲ）显然当或时，不等式成立              ………………………10分 当，原不等式等价于≥ ………11分 下面证明一个更强的不等式：≥…① 即≥……②亦即≥ ……………………13分 由(1) 知在上是减函数   又  ∴ ∴不等式②成立，从而①成立  又 ∴＞ 综上有≤≤且≤≤时，原不等式成立     …………………………16分

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