用空间向量求平面间的夹角知识点题库

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， $\text{[math]}$ BAD= $\text{[math]}$ ， AB=BC=1，AD=2， E是AD的中点，0是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，如图2．

（1）证明：CD⊥平面A₁OC
（2）若平面A₁BE⊥平面BCDE，求平面A₁BC与平面A₁CD夹角的余弦值.

在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是正三角形，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ．D，E分别是边BC，AC的中点，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点G，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$ ⊥平面 $\text{[math]}$ ；
（3）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边长为4的等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值.

已知三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，O为AC的中点，点N在边BC上，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面AMC；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图所示，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ .

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.

如图，在棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在底面上的投影 $\text{[math]}$ 恰为 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.

如图，在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.

在如图所示的几何体中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的正弦值.

如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M为棱 $\text{[math]}$ 上一点，平面 $\text{[math]}$ 与棱 $\text{[math]}$ 交于点N ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$ ；
（3）若平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
（3）设点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .判断点 $\text{[math]}$ 是否在平面 $\text{[math]}$ 内，说明理由.

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁.中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF丄A₁B₁.

（1）证明：BF⊥DE；
（2）当为B₁D何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
（2）若M为侧棱 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；

（Ⅲ）若点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

如图，在正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的动点.

（1）求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面；
（2）是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长度；若不存在，说明理由.

如图所示的圆柱中，AB是圆O的直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且 $\text{[math]}$ ， E，F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．

（1）证明： $\text{[math]}$ 而ABCD；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若二面角 $\text{[math]}$ 为30°， $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值．

如图在斜三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，点M，N分别为 $\text{[math]}$ 的中点，点D为线段 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的正弦值.

如图，在平面五边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为正三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折成如图所示的四棱锥 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

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