题目

如图，在三棱锥 中， 为等腰直角三角形， ， ，平面 平面 . （1） 求证： ； （2） 求二面角 的平面角的正弦值. 答案： 证明：∵ PA=1 ， PC=3 ， AC=2 ，∴ PA2+PC2=AC2 ，∴ PA⊥PC . ∵ △PAB 为等腰直角三角形， PA=PB ，∴ PA⊥PB ， 又∵ PB∩PC=P ，∴ PA⊥ 平面 PBC . ∵ BC⊂ 平面 PBC ，∴ PA⊥BC . 解：取AB的中点O，AC的中点D，连接OP，OD.则 OD∥BC . ∵ △PAB 为等腰直角三角形， PA=PB=1 ， ∴ OP⊥AB ， OP=22 ， AB=2 . 又∵平面 PAB⊥ 平面 ABC ，平面 PAB∩ 平面 ABC=AB ， OP⊂ 平面 PAB ，∴ OP⊥ 平面 ABC . 又∵ OD⊂ 平面 ABC ，∴ OP⊥OD . 由（1）得 BC⊥PA ，∵ OD∥BC ，∴ OD⊥PA . ∵ OP∩PA=P ， OP，PA⊂ 平面 PAB ，∴ OD⊥ 平面 PAB ，又 AB⊂ 平面 PAB ， ∴ OD⊥AB ， BC⊥AB ， BC=AC2−AB2=22−(2)2=2 . ∴ OA ， OD ， OP 两两垂直. 以O为坐标原点， OA ， OD ， OP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系如图所示 A(22，0，0) ， C(−22，2，0) ， P(0，0，22) ， PA→=(22，0，−22) ， AC→=(−2，2，0) ， 设 m→=(x，y，z) 为平面 PAC 的一个法向量， 由 {m→⋅PA→=0m→⋅AC→=0 ，得 {22x−22z=0−2x+2y=0 ， 令 x=1 ，得 m→=(1，1，1) . 由 OD⊥ 平面 PAB ，所以平面 PAB 的一个法向量为 n→=(0，1，0) ， 设二面角 B−PA−C 的平面角为 α ，则 则 cosα=cos〈m→，n→〉=m→⋅n→|m→||n→|=1×0+1×1+1×012+12+12×02+12+02=33 ， ∴ sinα=1−cos2α=63 ， ∴二面角 B−PA−C 的平面角的正弦值为 63 .

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