题目

在如图所示的几何体中， ， 平面 ， ， ， ， . （1） 证明： 平面 ； （2） 求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 答案： 证明：在 ΔBCD 中， BD2=22+1−2×1×2cos60∘=3 . 所以 BC2=BD2+DC2 ，所以 ΔBCD 为直角三角形， BD⊥CD . 又因为 AC⊥ 平面 BCD ，所以 AC⊥BD . 而 AC∩CD=C ，所以 BD⊥ 平面 ACDE . 解：(方法一)如图延长 AE ， CD 相交于 G ，连接 BG ， 则平面 AEB∩ 平面 BCD=BG . 二面角 A−BG−C 就是平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角. 因为 DE∥AC,AC=2DE ，所以 DE 是 ΔAGC 的中位线. GD=DC=1 ，这样 GC=BC=2,⊥BCD=60∘,ΔBGC 是等边三角形. 取 BG 的中点为 H ，连接 AH,CH ，因为 AC⊥ 平面 BCD . 所以 ∠AHC 就是二面角 A−BG−C 的平面角. 在 RtΔAHC,AC=4,CH=3 ，所以 sin∠AHC=419=41919 . (方法二)建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz ， 可得 D(0,0,0),B(3,0,0),C(0,1,0),E(0,0,2),A(0,1,4) . BA⇀=(−3,1,4),EA⇀=(0,1,2) . 设 n→=(x,y,z) 是平面 BAE 的法向量，则 {n→⋅BA⇀=−3x+y+4z=0n→⋅EA⇀=y+2z=0 令 z=3 得 n→=(2,−23,3) . 取平面 BCD 的法向量为 m→=(0,0,1) . 设平面 BCD 与平面 BAE 所成二面角的平面角为 θ ， 则 |cosθ|=|n→⋅m→||n→||m→|=319 ，从而 sinθ=41919 .

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