题目

如图，四边形 是矩形，平面 平面 ， 为 中点， ， ， ． （1） 证明：平面 平面 ； （2） 求二面角 的余弦值． 答案： 因为 AB=AC ， D 为 BC 中点，所以 AD⊥BC ，因为 ABEF 是矩形，所以 FA⊥AB ， 因为平面 ABC⊥ 平面 ABEF ，平面 ABC∩ 平面 ABEF=AB ， AF⊂ 平面 ABEF ，所以 AF⊥ 平面 ABC ，因为 BC⊂ 平面 ABC ，所以 AF⊥BC ， 又 AF ， AD⊂ 平面 ADF ， AF∩AD=A ，所以 BC⊥ 平面 ADF ， 又 BC⊂ 平面 BCF ，所以平面 ADF⊥ 平面 BCF ； 在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知， AF⊥ 平面 ABC ， 故以点A为坐标原点，分别以 Ax→ ， AB→ ， AF→ 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 A−xyz ，如图： 则 A(0,0,0) ， F(0,0,6) ， B(0,4,0) ， E(0,4,6) ， C(23,−2,0) ，则 D(3,1,0) ， 所以 AD→=(3,1,0) ， AF→=(0,0,6) ， AE→=(0,4,6) ， BC→=(23,−6,0) ， 由（1）知， BC→ 为平面 ADF 的一个法向量，设平面 ADE 的法向量为 n→=(x,y,z) ， 则 {n⇀⋅AD⇀=0n⇀⋅AE⇀=0 ，即 {3x+y=04y+6z=0 ，令 x=1 ，则 y=−3 ， z=22 ，所以 n→=(1,−3,22) ， 所以 cos〈n→,BC→〉=n→⋅BC→|n→||BC→|=23+6323⋅43=33 ， 因为二面角 F−AD−E 为锐角，则二面角 F−AD−E 的余弦值为 33 .

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