题目

如图，在平面五边形中，为正三角形， ， 且.将沿翻折成如图所示的四棱锥 ， 使得. ， 分别为 ， 的中点. （1） 求证：平面； （2） 若 ， 求平面与平面夹角的余弦值. 答案： 证明：取DC的中点M，连接MF，MQ.则MQ∥PD，MF∥DA.因为MQ⊄面PAD，ME⊄面PAD，所以，MQ∥面PAD，MF∥面PAD，因为MQ∩ME=M，所以，面MQF∥面PAD，因为FQ⊂面MQF，所以FQ∥面PAD 解：取AD的中点O，连接OP，OC，因为△PAD为正三角形，AD=2，所以OP⊥AD且OP=3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB=2BC=2，所以，OC⊥AD且OC=2，又因为PC=7，所以在△POC中，OP2+OC2=PC2，即OP⊥OC，所以，以O为坐标原点，分别以OD→，OC→，OP→的方向为x，y，z轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(1，0，0)，C(0，2，0)，F(−1，1，0)，P(0，0，3)，DP→=(−1，0，3).因为DEPE=12，即DE→=13DP→=(−13，0，33)，λ>0，所以，E(23，0，33)，所以EC→=(−23，2，−33)，EF→=(−53，1，−33).设n→=(x1，y1，z1)为平面EFC的一个法向量，则{n⇀⋅EC⇀=0n⇀⋅EF⇀=0，即{−23x1+2y1−33z1=0−53x1+y1−33z1=0，取n→=(3，−3，−83).又平面PAD的一个法向量m→=(0，1，0)，设平面EFC与平面PAD夹角为α，cosα=|n→⋅m→||n→|⋅|m→|=39+9+192=21070

查看本题答案和解析