题目

已知三棱锥 中， ， ，O为AC的中点，点N在边BC上，且 . （1） 求证： 平面AMC； （2） 求二面角 的余弦值. 答案： 证明：连接OM， 在△ABC中，∵AB=BC=2，AC=2 2 ， ∴∠ABC=90° ，BO= 2 ，OB⊥AC 在△MAC中，∵MA=MC=AC=2 2 ，O为AC的中点， ∴OM⊥AC，且OM= 6 在△MOB中，∵BO= 2 ，OM= 6 ，MB=2 2  ， ∴BO2+OM2= MB2， ∴OB⊥OM ∵AC∩OM=O，AC ⊂ 平面AMC，OM ⊂ 平面AMC， ∴OB⊥平面AMC 解：由(1)知OB，OC，OM两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OM所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图。 ∵MA=MB=MC=AC=2 2 ，AB=BC=2， ∴A(0，- 2 ，0) ，B( 2 ，0，0) ，M(0，0， 6 )，C(0， 2 ，0) ∵ BN→ = 23 BC→ ，∴N( 23 ， 223 ，0) ∴ AN→ =( 23 ， 523 ，0) ， AM→ =(0， 2 ， 6 )， OB→ =( 2 ，0，0) 设平面MAN的法向量为n=(x，y，z)， 则 {AN→·n=(23，523，0)·(x，y，z)=23x+523y=0AM→·n=(0，2，6)·(x，y，z)=2y+523z=0 令y= 3 ，则z=-1，x=-5 3 ，得n=(-5 3 ， 3 ，-1) ∵BO⊥平面AMC， ∴ OB→ =( 2 ，0，0)为平面AMC的一个法向量， ∴n=(-5 3 ， 3 ，-1)与 OB→ =( 2 ，0，0)所成角的余弦值 cos<n， OB→ )= −5679×2 = −5379 ∴二面角N-AM-C的余弦值为 −5379

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