题目

如图所示的圆柱中，AB是圆O的直径， ， 为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且 ， E，F分别为 ， 的中点． （1） 证明：而ABCD； （2） 求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 答案： 证明：取AA1的中点G，连接EG，FG，AC，因为EG∥AD，EG⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以EG∥平面ABCD，因为AG∥CF，AG=CF，所以四边形AGFC是平行四边形，FG∥AC，又FG⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以FG∥平面ABCD，因为FG∩EG=G，所以平面EFG∥平面ABCD，因为EF⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD． 解：设CD=BC=12AA1=12AB=2，由AD=CD=BC，得∠DAB=∠ABC=60°，因为AC⊥BC，所以AC=42−22=23，由题意知CA，CB，CC1两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(23，0，0)，A1(23，0，4)，B(0，2，0)，C1(0，0，4)，D(3，−1，0)，E(323，−12，2)，所以EC1→ =(−323，12，2)，BC1→ =(0，−2，4)，设平面C1EB的一个法向量为n→= (x，y，z)，由{n⇀⋅EC1⇀=0n⇀⋅BC1⇀=0得{−33x+y+4z=0y−2z=0，取z=1，得n→ =(233，2，1)，连接BD，因为BD⊥AD，BD⊥AA1，AD∩AA1=A，所以BD⊥平面AA1D，所以平面AA1D的一个法向量为DB→ =(−3，3，0)，所以cos〈DB→ ，n→〉=−2+623×193=21919，所以平面AA1D与平面C1EB所成锐二面角的余弦值为21919．

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