题目

在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面．D，E分别是边BC，AC的中点，线段与交于点G，且，．（1）求证： ∥平面；（2）求证： ⊥平面；（3）求二面角的余弦值．答案：证明：因为E为AC中点，G为B1C中点．所以EG∥AB1．又因为EG⊄平面AB1D，AB1⊂平面AB1D，所以EG∥平面AB1D．证明：取B1C1的中点D1，连接DD1．显然DA，DC，DD1两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0）， A(23，0，0) ，B（0，-2，0）， B1(0，−2，22) ， C1(0，2，22) ， E(3，1，0) ，C（0，2，0）．所以 DB1→=(0，−2，22) ， DA→=(23，0，0) ， BC1→=(0，4，22) ．又因为 BC1→⋅DA→=23×0+0×4+0×22=0 ， BC1→⋅DB1→=0×0+(−2)×4+22×22=0 ，所以BC1⊥DA，BC1⊥DB1．又因为DA∩DB1=D，所以BC1⊥平面AB1D．解：显然平面B1CB的一个法向量为 n1→ =（1，0，0）．设平面AB1C的一个法向量为： n2→ =（x，y，z），又 AC→=(−23，2，0) ， B1C→=(0，4，−22) ，由 {n2→⋅AC→=0，n2→⋅B1C→=0，得 {−23x+2y=0，4y−22z=0．设x=1，则 y=3 ， z=6 ，则 n2→=(1，3，6) ．所以 cos<n1→，n2→>=n1→⋅n2→|n1→||n2→|=110=1010 ．设二面角A-B1C-B的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，所以 cosθ=1010 ．

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