用空间向量求平面间的夹角知识点题库

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，△ $\text{[math]}$ 与△ $\text{[math]}$ 均是以 $\text{[math]}$ 为直角顶点的等腰直角三角形，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的任意一点.

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的正弦值.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且四边形 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值；
（2）点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角最小时，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

如图,正方形 $\text{[math]}$ 与梯形 $\text{[math]}$ 所在的平面互相垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ,点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上.

(Ⅰ) 若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(Ⅱ) 求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(Ⅲ) 当平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.

如图：在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是直角三角形， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小；
（3）求二面角 $\text{[math]}$ 的正切值.

如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PD⊥AB，O是AD的中点，BO＝CO.

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（1）求证：AB⊥平面PAD；
（2）若AD＝2AB＝4， PA＝PD，点M在侧棱PD上，且PD＝3MD，二面角P－BC－D的大小为 $\text{[math]}$ ，求直线BP与平面MAC所成角的正弦值.

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA $\text{[math]}$ 底面ABCD，AC= $\text{[math]}$ ,PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC。

（1）证明PC $\text{[math]}$ 平面BED；
（2）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小

如图所示，圆 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆周上一点， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 垂直圆 $\text{[math]}$ 所在平面，直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 所在平面所成角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是矩形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点．

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（1）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，请确定点 $\text{[math]}$ 的位置，并说明理由．
（2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$

（1）若 $\text{[math]}$ 在侧棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．

如图，在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为长方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且线段 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .

（1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 上满足 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 有两个，分别记为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的大小.

在如图所示的多面体中， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面ABCD ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值．

如图1，在平面五边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是等边三角形.现将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，记折后的点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 得到四棱锥 $\text{[math]}$ ，如图2.

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

已知空间几何体ABCDE中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均为边长为2的等边三角形， $\text{[math]}$ 为腰长为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.

（1）试在平面BCD内作一条直线，使直线上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行，并给出详细证明；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点.