题目

如图1，在平面五边形 中， 是等边三角形.现将 沿 折起，记折后的点 为 ，连接 得到四棱锥 ，如图2. （1） 证明： ； （2） 若平面 平面 ，求二面角 的余弦值. 答案： 证明：如图所示，设 M 为 AD 中点，连接 E′M，CM ， 因为 △ADE 是等边三角形，所以 AD⊥E′M ，因为 AD ∥ BC， 所以 BC⊥E′M ，因为 AD=2BC 所以 AM=BC 且 AM//BC ，所以 AB//CM ，因为 ∠ABC=90∘， 所以 CM⊥BC 又 CM∩E′M=M， CM 、 EM⊂ 平面 E′MC ， ∴BC⊥ 平面 E′MC ，又因为 CE'⊂ 平面 E′MC ，所以 BC⊥CE' 解：如下图所示，过 A 作 AH⊥DC 于点 H ，由平面 E′CD⊥ 平面 ABCD ，平面 E′CD∩ 平面 ABCD=CD ， ∴AH⊥ 平面 E′CD， 又因为 CE'⊂ 平面 E′MC ，所以 AH⊥E′C 又 BC⊥E'C ， AH，BC 相交， AH 、 BC⊂ 平面 ABCD ∴CE′⊥ 平面 ABCD，CE′=E′M2−CM2=6 以C为原点建立如图所示的坐标系 D(−2，6，0)，A(2，6，0)，B(2，0，0)，E′(0，0，6) BD→=(−4，6，0)，BE'→=(−2，0，6) ， AD→=(−4，0，0)，AE'→=(−2，−6，6) 设平面 BDE' 的法向量 n→=(x，y，z) 满足 {n→⋅BD⇀=0n→⋅BE′⇀=0⇒{−4x+6y=0−2x+6z=0⇒n→=(3，26，6) 设平面 ADE' 的法向量 m→=(x，y，z) 满足 {m→⋅AD⇀=0m→⋅AE′⇀=0⇒{−4x=0−2x−6y+6z=0⇒m→=(0，1，1) cos〈m→，n→〉=n→⋅m→|n→|⋅|m→|=31313 .所以二面角 A−DE'−B 的余弦值为 31313

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