题目

在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面 ， E为PD的中点． （1） 证明：平面； （2） 若 ， ， 求二面角的余弦值． 答案： 证明：连接BD，交AC于点O，连接EO，因为O为BD中点，E为PD中点，所以EO//PB，因为EO⊂平面ACE，PB⊂平面ACE，所以PB//平面ACE； 解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(2，1，0)，B(2，0，0)，E(0，12，12)，则AC→=(2，1，0)，AE→=(0，12，12)，因为PA⊥平面ABCD，所以平面ABC的一个法向量为m→=(0，0，1)，设平面AEC的法向量为n→=(x，y，z)，则{n→⋅AE⇀=12y+12z=0n→⋅AC⇀=2x+y=0，令x=1，则y=−2，z=2，所以n→=(1，−2，2)，所以cos<m→，n→>=m→⋅n→|m→||n→|=23，由图可知二面角E−AC−B为钝二面角，所以二面角E−AC−B的余弦值为−23．

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