题目

如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ． （1） 求证： 平面 ； （2） 求二面角 的余弦值． 答案： 证明：∵ PA⊥ 平面 ABCD ，∴ PA⊥ AD . 又 AB⊥BC ， AD//BC ，∴ AB⊥AD ∵ PA∩AB=A ，∴ AD⊥ 平面 PAB 解：以A为原点， AB→、AD→、AP→ 分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)， DC⇀=(1，1，0)，DP⇀=(0，−1，1) 显然 AP→=(0，0，1) 为平面ABCD的一个法向量. 设 n→=(x，y，z) 为平面PCD的一个法向量.，则： {n⇀·DC⇀=0n⇀·DP⇀=0 ，即 {x+y=00−y+z=0 不妨设y=1，则 n→=(−1，1，1) 设二面角 P−CD−A 的平面角为 θ ，由图示可知 θ 为锐角， 所以 cosθ=|cos〈AP→，n→〉|=|AP→·n→|AP→|×|n→||=|0×(−1)+0×1+1×112×1+1+1|=33 . 即二面角 P−CD−A 的余弦值为 33 .

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