题目

如图：在三棱锥 中， ， 是直角三角形， ， ，点 分别为 的中点. （1） 求证： ； （2） 求直线 与平面 所成角的大小； （3） 求二面角 的正切值. 答案： 证明：连接 BD 。在 ΔABC 中， ∠B=90° . ∵AB=BC ，点 D 为 AC 的中点， ∴ BD⊥AC . 又 ∵PB⊥平面ABC ，即 BD 为 PD 在平面 ABC 内的射影，∴ PD⊥AC . ∵E、F 分别为 AB、BC 的中点， ∴ EF//AC ， ∴ EF⊥PD . 方法二：∴ EF→=(−1,1,0),PD→=(1,1,−2) ， ∴ EF→·PD→=−1+1=0 ， ∴ EF⊥PD 解：方法一： ∵PD⊥平面ABC ，∴ PB⊥EF . 连结 BD 交 EF 于点 O ， EF⊥PB,EF⊥PD ，∴ EF⊥平面PBD ， ∴ ∠FPO 为直线与 PF 平面 PBD 所成的角， EF⊥PO . ∵PB⊥面ABC ，∴ PB⊥AB,PB⊥BC ，又 ∵∠PAB=45° ， ∴ PB=AB=2 . ∵OF=14AC=22 ，∴ PF=PB2+BF2=5 ， ∴在 RtΔEPO 中， sinFPO=OFPF=1010 ，∴ ∠FPO=arcsin1010 ， 即直线 PF 与平面 PBD 所成角的大小为 arcsin1010 . 方法二：由已知可得 EF→=(−1,1,0) ，为平面的法向量， ， ∴ cos〈PF→,EF→〉=PF→·EF→|PF→|·|EF→|=110=1010 ， ∴直线 PF 与面 PBD 所成角的正弦值为 1010 . ∴直线 PF 与面 PBD 所成角的为 arcsin1010 解：方法一：过点 B 作 BM⊥PF 于点 M ，连结 EM ， ∵AB⊥PB,AB⊥BC ， ∴ AB⊥平面PBC ，即 BM 为 EM 在平面 PBC 内的射影， EM⊥PF ，∴ ∠EMB 为二面角 E−PF−B 的平面角. ∴ RtΔPBF 中， BM=PB·BFPF=25 ， ∴ tanEMB=EBBM=52 ，即二面角 E−PF−B 的正切值为 52 . 解法二 建立空间直角坐标系 B−xyz ，如图 则 B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),E(1,0,0),F(0,1,0),P(0,0,2) 设平面 PEF 的一个法向量为 a→=(x,y,z) ， ∴ EF→=(−1,1,0),PF→=(0,1,−2) ， ∴ a→·EF→=−x+y=0,a→·PF→=y−2z=0 ，令 z=1 ， ∴ a→=(2,2,1) . 由已知可得，向量 BA→=(2,0,0) 为平面 PBF 的一个法向量， ∴ cos〈a→,BA→〉=a→·BA→|a→|·|BA→|=43×2=23 ， ∴ tan〈a→,BA→〉=52 . ∴二面角 E−PF−B 的正切值为 52

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