用空间向量求平面间的夹角知识点题库

如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．

（1）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（2）求二面角B﹣AP﹣C的大小．

如图，在三棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.

（1） $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

在长方体 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的正弦值.

如图，在正四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面正方形的对角线 $\text{[math]}$ 交于点O且 $\text{[math]}$

（1）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
（2）求锐二面角 $\text{[math]}$ 的大小．

如图，已知平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ， DE⊥平面 BCE ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ （）

A . 150° B . 120° C . 60° D . 30°

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为2的菱形， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点．

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（Ⅰ）在棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，并说明理由；

（Ⅱ）当二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角．

如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且垂直于 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）设点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上任意一点，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的最小值.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是等腰梯形 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为60°，求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.

如图，已知三棱柱 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
（3）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.

如图，菱形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折到 $\text{[math]}$ 的位置使得 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ ．
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，已知棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两垂直且长度分别为1，2，2，若 $\text{[math]}$ ，且向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．

如图，直四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面是边长为1的正方形，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$

（1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面ABC．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 面ABCD， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求平面PDC与平面PBC所成角的余弦值；
（3）若PB的中点为M，判断直线AM与平面PDC是否相交，如果相交，求出P到交点H的距离.

在如图所示的多面体中， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．