题目

如图，在三棱台中，，分别是，的中点，平面，是等边三角形，，， . （1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．答案：证明：因为 A1B1//AB，AB=2A1B1 ， D 为棱 AB 的中点，所以 A1B1//BD，A1B1=BD ，所以四边形 A1B1BD 为平行四边形，从而 BB1//A1D .又 BB1⊄ 平面 A1DE ， A1D⊂ 平面 A1DE ，所以 B1B// 平面 A1DE . 因为 DE 是 ΔABC 的中位线，所以 DE//BC ，同理可证， BC// 平面 A1DE .因为 BB1∩BC=B ，所以平面 B1BC// 平面 A1DE . 又 B1C⊂ 平面 B1BC ，所以 B1C// 平面 A1DE 解：以 ED，EC，EB1 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 E−xyz ，设 BC=a ，则 A(0，−a，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，B1(0，0，3a) ，则 AB1=(0，a，3a)，AB=(a，2a，0) .设平面 ABB1 的一个法向量 m⇀=(x1，y1，z1) ，则 {m⇀⋅AB1⇀=0，m⇀⋅AB⇀=0，即 {ay1+3az1=0，ax1+2ay1=0，取 z1=1 ，得 m⇀=(23，−3，1) .同理，设平面 BB1C 的一个法向量 n⇀=(x，y，z) ，又 CB1=(0，−a，3a)，BC=(−a，0，0) ，由 {n⇀⋅BC⇀=0，n⇀⋅CB1⇀=0，，得 {−ax=0，−ay+3az=0，取 z=−1 ，得 n⇀=(0，−3，−1) .所以 cosm⇀，n⇀=m⇀⋅n⇀|m⇀||n⇀|=14 ，即二面角 A−BB1−C 的正弦值为 154 .

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