题目

在长方体 中，底面 是边长为 的正方形， 是 的中点， 是 的中点. （1） 求证： 平面 ； （2） 若 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值. 答案： 解：连接 AC ， ∵E 、 F 分别为 AB 、 BC 的中点，所以 EF//AC ， 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AA1//CC1 且 AA1=CC1 ， 所以，四边形 AA1C1C 为平行四边形， ∴A1C1//AC ， ∴EF//A1C1 ， ∵EF⊄ 平面 A1DC1 ， A1C1⊂ 平面 A1DC1 ， ∴EF// 平面 A1DC1 解：以点 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0) 、 A1(2,0,23) 、 C1(0,2,23) 、 B1(2,2,23) 、 E(2,1,0) 、 F(1,2,0) ， DA1⇀=(2,0,23) ， DC1⇀=(0,2,23) ， EF⇀=(−1,1,0) ， EB1⇀=(0,1,23) ， 设平面 A1DC1 的法向量为 m⇀=(x,y,z) ， 由 {m⇀⋅DA1⇀=2x+23z=0m⇀⋅DC1⇀=2y+23z=0 ，令 z=−1 ，可得 x=y=3 ，得 m⇀=(3,3,−1) ， 设平面 B1EF 的法向量为 n⇀=(a,b,c) ， 由 {n⇀⋅EF⇀=−a+b=0n⇀⋅EB1⇀=b+23c=0 ，令 c=−1 ，得 a=b=23 ，得 n⇀=(23,23,−1) ， 设平面 A1DC1 与平面 B1EF 所成二面角的大小为 θ ， cos〈m⇀,n⇀〉=m⇀⋅n⇀|m⇀|⋅|n⇀|=137×5 ，则 sinθ=1−cos2〈m⇀,n⇀〉=1−(1357)2=4235

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