题目

如图，菱形 的对角线 与 交于点 ， ， ，将 沿 折到 的位置使得 ． （1） 证明： ． （2） 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 答案： 证明：因为 ABCD 是菱形， 所以 AC⊥BD ， 则 BE⊥AC ， PE⊥AC ． 因为 BE⊂ 平面 PBE ， PE⊂ 平面 PBE ，且 BE∩PE=E ， 所以 AC⊥ 平面 PBE ． 因为 PB⊂ 平面 PBE ， 所以 PB⊥AC 解：取 DE 的中点 O ，连接 OP ，取 CD 的中点 F ，连接 OF ． 因为 BD=8 ，所以 DE=PE=4 ． 因为 PD=4 ，所以 PD=PE ，所以 PO⊥DE ． 由（1）可知 AC⊥ 平面 PBE ， 所以平面 PBD⊥ 平面 ABCD ， 则 PO⊥ 平面 ABCD ． 故以 O 为坐标原点， OF→ ， OD→ ， OP→ 的方向分别为 x ， y ， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz ． 由得 A(−3,−2,0) ， B(0,−6,0) ， C(3,−2,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0,23) ， 则 AB→=DC→=(3,−4,0) ， BP→=(0,6,23) ， DP→=(0,−2,23) ． 设平面 PAB 的一个法向量为 m→=(x1,y1,z1) ， 则 {m→⋅AB→=3x1−4y1=0m→⋅BP→=6y1+23z1=0 ， 令 x=4 ，得 m→=(4,3,−33) ． 设平面 PCD 的一个法向量为 n→=(x2,y2,z2) ， 则 {n→⋅DC→=3x2−4y2=0n→⋅DP→=−2y2+23z2=0 ， 令 x=4 ，得 n→=(4,3,3) ． 设平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角为 θ ， 则 cosθ=|m→⋅n→|m→||n→||=|4×4+3×3−33×3|42+32+(−33)2×42+32+(3)2=49191

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