题目

如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，， . （1）求证：；（2）求平面PDC与平面PBC所成角的余弦值；（3）若PB的中点为M，判断直线AM与平面PDC是否相交，如果相交，求出P到交点H的距离. 答案：证明： ∵AB//CD ， AB⊥BC ， AB=BC=1 ， CD=2 ， ∴AC=2 ， ∠BAC=∠DCA=45° . ∴ 在 △DAC 中，由余弦定理得 AD2=AC2+DC2−2AC⋅DCcos∠ACD ，即 AD2=(2)2+22−2×2×2×22 ，所以 AD=2 . ∴AC2+AD2=DC2 . ∴AC⊥AD . 又 PA⊥ 平面 ABCD ， ∵AD⊂ 平面 ABCD . ∴PA⊥AD . 又 ∵AC∩PA=A ， AC，PA⊂ 平面 PAC ， ∴AD⊥ 平面 PAC . ∵PC⊂ 平面 PAC ， ∴AD⊥PC . 解：取 CD 中点 N ，连结 AN . ∵AB//CD ， CD=2 ， AB=1 ， CN=1 ， ∴AB//NC，AB=NC . ∴ 四边形 ABCN 是平行四边形. ∴AN//BC. ∵AB⊥BC ， ∴AB⊥AN . ∵PA⊥ 平面 ABCD ， ∴PA⊥AN，PA⊥AB . ∴ 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0 ， 0 ， 0) ， B(0 ， 1 ， 0) ， C(1 ， 1 ， 0) ， D(1 ， −1 ， 0) ， P(0 ， 0 ， 1) . ∴ PC→=(1 ， 1 ， −1) ， BC→=(1 ， 0 ， 0) ， DC→=(0 ， 2 ， 0) . 设平面 PBC 的一个法向量为 n→=(x ， y ， z) ，则 ∴ {n⇀⋅PC⇀=0，n⇀⋅BC⇀=0. ∴{x+y−z=0，x=0. 令 y=1 ，则得 z=1 ，此时 n→=(0 ， 1 ， 1) 设平面 PDC 的一个法向量为 m→=(x ， y ， z) ，则 ∴ {m⇀⋅PC⇀=0m⇀⋅DC⇀=0. ∴{x+y−z=02y=0. 令 x=1 ，则得 z=1 ，此时 m→=(1 ， 0 ， 1) . ∴cos〈m→ ， n→〉 =m→⋅n→|m→||n→|=1×0+0×1+1×12×2=12 . 设平面 PDC 与平面 PBC 所成角为 θ ， ∴cosθ=|cos〈m→ ， n→〉|=12 ∴ 平面 PDC 与平面 PBC 所成角的余弦值为 12 . 解： ∵M(0 ， 12 ， 12) ， AM→=(0 ， 12 ， 12) ， m→=(1 ， 0 ， 1) . ∴ AM→⋅m→=12≠0 . ∴ 直线 AM 与平面 PDC 相交. 设 AH→=λAM→ ，所以 H(0 ， 12λ ， 12λ) . ∴PH→=(0 ， 12λ ， 12λ−1) . ∵PH→⋅m→=0 ， ∴12λ−1=0 解得 λ=2 ∴PH→=(0 ， 1 ， 0 )， PH=1 ， ∴ P 到交点 H 的距离为1.

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