题目

如图，已知 ， 平面 ， 平面 ，过点 且垂直于 的平面 与平面 的交线为 ， ， ， . （1） 证明： 平面 ； （2） 设点 是 上任意一点，求平面 与平面 所成锐二面角的最小值. 答案： 证明：因为 BD⊥α ， BD⊥ 平面 ABC ， 所以 α //平面 ABC ， 又 α∩ 平面 BCD=l ，平面 ABC∩ 平面 BCD=BC ， 所以 BC // l . 因为 EA⊥ 平面 ABC ， 所以 BC⊥AE . 又 BC⊥AC ， AE∩EA=A ， 所以 BC⊥ 平面 AEC ， 从而 l⊥ 平面 AEC . 解：作 CF // AE ，以 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C−xyz ， 则 A(0,1,0) ， C(0,0,0) ， D(3,0,1) ， E(0,1,2) ， 设 P(a,0,1) ，平面 PAE ､平面 ACD 的法向量分别为 m→=(x1,y1,z1) ， n→=(x2,y2,z2) ， 则 AP→=(a,−1,1) ， AE→=(0,0,2) ， AC→=(0,−1,0) ， CD→=(3,0,1) . 因为 m→⊥ 平面 PAE ， 所以 {ax1−y1+z1=02z1=0 ，令 x1=1 ，得 y1=a ， z1=0 ，即 m→=(1,a,0) . 同理 {−y2=03x2+z2=0 ，令 x2=1 ，得 y2=0 ， z2=−3 ，即 n→=(1,0,−3) . 因为 |cos〈m→,n→〉|=12a2+1≤12 ，当且仅当 a=0 时取等号， 所以平面 PAE 与平面 ACD 所成锐二面角的最小值为 60° .

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