题目

如图，平行六面体的底面是矩形，P为棱上一点.且 ， F为的中点. （1） 证明：； （2） 若.当直线PB与平面所成的角为 ， 且二面角的平面角为锐角时.求三棱锥的体积. 答案： 证明：取AB的中点E，连接PE，EF，∵PA=PB，∴PE⊥AB，∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，∵E、F为中点，EF∥BC，∴EF⊥AB，又∵PE∩EF=E，∴AB⊥平面PEF，∴AB⊥PF； 解：如图，以F为坐标原点，以过F与平面ABCD垂直的直线向上的方向为为z轴正方向，以FC→的方向为x轴正方向，EF→的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(−1，−2，0)，B(1，−2，0)，C(1，0，0)，D(−1，0，0)，设P(0，a，h)，h为P到平面ABCD的距离，则PB→=(1，−2−a，−h)，PD→=(−1，−a，−h)，CD→=(−2，0，0)，设平面PCD的法向量为n→=(x，y，z)，则{n→⋅PD⇀=0n→⋅CD⇀=0，即{−x−ay−hz=0−2x=0，令y=−h，则z=a，∴n→=(0，−h，a)，又∵PD=2，∴a2+h2=3(*)，设直线PB与平面PCD所成的角为θ，sinθ=|PB→⋅n→|PB→||n→||=|2h|3h2+(2+a)2+1=22，解得a=0，或a=−32，当a＝0时，平面PCD法向量为n→=(0，−h，0)，则平面PCD与平面ABCD垂直，此时二面角P−CD−A的平面角为直角，∴a=0(舍)，∴a=−32，代入(*)可得h=32，∴VB−APD=VP−ABD=13×12×2×2×32=33.

查看本题答案和解析