题目

如图，在三棱柱 中， ，平面 平面ABC． （1） 求证： ； （2） 若 ，求二面角 的余弦值. 答案： 证明：因为平面 AA1C1C⊥ 平面ABC，交线为AC，又 BC⊥AC ， 所以 BC⊥ 平面 AA1C1C ， 因为 C1C⊂ 平面 AA1C1C ， 从而有 BC⊥C1C . 因为 ∠A1CC1=90° ，所以 A1C⊥C1C ， 又因为 BC∩A1C＝C 所以 C1C⊥ 平面 A1BC ， A1B⊂ 平面 A1BC ，所以 CC1⊥A1B . 解：如图，以C为坐标原点，分别以 CB→ ， CA→ 的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系 C−xyz . 由 ∠A1CC1=90° ， AC=2AA1 得 A1C=AA1 . 不妨设 BC=AC=2AA1=2 ， 则 B(2，0，0) ， C1(0，−1，1) ， A(0，2，0) ， A1(0，1，1) ， 所以 A1C1→=(0，−2，0) ， BC1→=(−2，−1，1) ， AB→=(2，−2，0) ， 设平面 A1BC1 的一个法向量为 m→ ， 由 A1C1→⋅m→=0 ， BC1→⋅m→=0 ，可取 m⇀=(1，0，2) ， 设平面 ABC1 的一个法向量为 n→ ， 由 BC1→⋅n→=0 ， AB→⋅n→=0 ，可取 n→=(1，1，3) . cos<m→，n→>=m→⋅n→|m→||n→|=75555 又因为二面角 A1−BC1−A 为锐二面角， 所以二面角 A1−BC1−A 的余弦值为 −75555 .

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