题目

如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PD⊥AB，O是AD的中点，BO＝CO. （1） 求证：AB⊥平面PAD； （2） 若AD＝2AB＝4， PA＝PD，点M在侧棱PD上，且PD＝3MD，二面角P－BC－D的大小为 ，求直线BP与平面MAC所成角的正弦值. 答案： 解：在平行四边形ABCD中，设N是BC的中点，连接ON，因为O是AD的中点，所以 AB//ON ， 又因为 BO=CO ，得 ON⊥BC ，所以 AB⊥BC ， 平行四边形ABCD中， BC//AD ，则 AB⊥AD ，又 AB⊥PD 且 PD∩AD=D,AD⊂ 平面 PAD,PD⊂ 平面 PAD ， 故 AB⊥ 平面 PAD . 解：由（1）知 AB⊥ 平面 PAD ，又 AB⊂ 平面 ABCD ，于是平面 PAD⊥ 平面 ABCD ， 连接 PO,PN ，由 PA=PD ,可得 PO⊥AD ， 则 PO⊥BC ，又 ON⊥BC ，所以 BC⊥ 平面 PNO ，得 PN⊥BC ，故二面角 P−BC−D 的平面角为 ∠PNO=π4 ， 所以 PO=AB=2 ，以O为原点，以 ON,OD,OP 为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则 A(0,−2,0),B(2,−2,0),C(2,2,0),P(0,0,2) ， 由 PD=3MD ，可知 M(0,43,23) ，则 AC→=(2,4,0),AM→=(0,103,23),BP→=(−2,2,2) ， 设平面MAC的一个法向量为 n→=(x,y,z) ，由 {n→⋅AC⇀=0n→⋅AM⇀=0 ，即 {2x+4y=0103y+23z=0 ，令 y=1 ，得 {x=−2y=1z=−5 ， 所以 n→=(−2,1,−5) ， 设直线BP与平面MAC所成的角为 θ ， 所以 sinθ=|BP→⋅n→||BP→|⋅|n→|=|4+2−10|23×30=1015 ， 所以直线BP与平面MAC所成角的正弦值为 1015 . 故得解.

查看本题答案和解析