题目

如图，在四棱锥中，平面 ， ， 是等边三角形， ． （1） 若 ， 求证：平面； （2） 若二面角为30°， ， 求直线与平面所成的角的正弦值． 答案： 证明：在△ABC中，因为∠ABC=90°，AC=2AB，所以∠ACB=30°因为△ACD是等边三角形，所以∠ACD=60°，因此∠BCD=90°，所以BC⊥CD因为EC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以EC⊥BC因为EC∩CD=C，所以BC⊥平面CDE 解：因为EC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥EC又AB⊥BC，且BC∩EC=C，所以AB⊥平面BCE又BE⊂平面BCE，所以AB⊥BE，因此∠CBE即为二面角E−AB−D的平面角所以∠CBE=30°，BC=3，所以∠ACB=30°以AC的中点O为原点，分别以AC，OD 所在直线为x轴和y轴建立如下图所示的坐标系则D(−3，0，0)，E(0，1，1)，A(0，−1，0)，B(32，−12，0)于是DE→=(3，1，1)，AB→=(32，12，0)，AE→=(0，2，1)设平面ABE的法向量为n→=(x，y，z)由{n→⋅AB⇀=0n→⋅AE⇀=0，得{32x+12y=0，2y+z=0，取x=1，得n→=(1，−3，23)设直线DE与平面ABE所成角为θ则sinθ=|cos⟨n→，DE→⟩|=|n→⋅DE→||n→||DE→|=|3−3+23|5×4=1510故直线DE与平面ABE所成角的正弦值为1510

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