题目

如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， . 为 的中点，点 在 上，且 . （1） 求证： 平面 ； （2） 求二面角 的余弦值； （3） 设点 在 上，且 .判断点 是否在平面 内，说明理由. 答案： 证明：由于 PA⊥ 平面 ABCD ， CD⊂ 平面 ABCD ，则 PA⊥CD ， ∵AD⊥CD ，且 PA∩AD=A ， ∴CD⊥ 平面 PAD ； 以点 A 为坐标原点，分别以 AD 、 AP 所在直线分别为 y 、 z 轴建立空间直角坐标系， 易知： A(0,0,0) ， P(0,0,2) ， C(2,2,0) ， D(0,2,0) ， E(0,1,1) ， AF→=AP→+13PC→=(0,0,2)+13(2,2,−2)=(23,23,43) ， AE→=(0,1,1) ， 设平面 AEF 的法向量为 m→=(x,y,z) ， 则 {m⇀⋅AF⇀=23x+23y+43z=0m⇀⋅AE⇀=y+z=0 ，取 y=1 ，可得 m→=(1,1,−1) ， 易知，平面 AEP 的一个法向量为 n→=(1,0,0) ， cos<m→,n→>=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=13×1=33 ， 二面角 F−AE−P 的平面角为锐角，故二面角 F−AE−P 的余弦值为 33 ； 点 G 是在平面 AEF 内，理由如下. 易知 B(2,−1,0) ， AG→=AP→+23PB→=(0,0,2)+23(2,−1,−2)=(43,−23,23) , 注意到平面 AEF 的一个法向量为 m→=(1,1,−1) ，其满足 m→⋅AG→=0 ， 且点 A 在平面 AEF 内，故直线 AG 在平面 AEF 内. 所以，点 G 是在平面 AEF 内.

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