三角形的综合知识点题库

在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一个动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

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（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=度．
（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；

②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．

已知：在 $\text{[math]}$ 中，AB=AC，点E在AB上，以BE为底边作等腰 $\text{[math]}$ ，取CE的中点为G，连接AG、DG．

（1）如图1，若BE=AE，∠BDE=120°，∠BAC=60°，求证：AG⊥DG；
（2）如图2，若BE≠AE，∠BDE＋∠BAC=180°，则（1）中结论仍然成立吗？说明理由．

如图，点C在AB上， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均是等边三角形， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 为等边三角形；④ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ；⑤DC=DN正确的有（）个

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A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5

如图，已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 点出发沿射线 $\text{[math]}$ 方向以每秒 $\text{[math]}$ 个单位的速度向右运动．设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ ．连结 $\text{[math]}$ ．

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（1）当 $\text{[math]}$ 秒时，求 $\text{[math]}$ 的长度(结果保留根号)；
（2）当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）过点 $\text{[math]}$ 做 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．在点 $\text{[math]}$ 的运动过程中，当 $\text{[math]}$ 为何值时，能使 $\text{[math]}$ ？

（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF.试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系.小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG.先证明 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是.
（2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由
（3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等.接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里.求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小.

如图

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（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC ，直线l过点C ，过点A作AD⊥CD ，过点B作BE⊥CD ，垂足分别为D、E ．求证：AD＝CE ， CD＝BE ．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线PQ与x轴交于点Q（1，0），与y轴交于点P（0，3），以线段PQ为一边作等腰直角三角形PQR ，请直接写出点R的坐标．

如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC =8cm.点P从A点出发,沿 $\text{[math]}$ 路径向终点B运动，点Q从B点出发,沿 $\text{[math]}$ 路径向终点A运动.点P 和Q分别 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F.则点P运动多少秒时，△PEC和△CFQ全等？请说明理由.

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如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是等边三角形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点（端点除外），点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 以相同的速度，同时从点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 出发．

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（1）如图1，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；
（2）如图1，当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上运动时，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线上运动时，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 处，将三角板绕点 $\text{[math]}$ 旋转，三角板的两直角边分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的延长线）于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点．

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．
（2）三角板绕点 $\text{[math]}$ 旋转至如图2，（1）中的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，说明理由；
（3）观察图2和图3，三角板在绕点 $\text{[math]}$ 旋转过程中， $\text{[math]}$ 是否能成为等腰三角形?若能，直接写出所有情况（即写出 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时 $\text{[math]}$ 的长）；若不能，请说明理由．

如图，在等边△ABC中，边长为8， AD=BE=3， GF=2，BD平分 ∠ABF，则 BG= ．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿射线 $\text{[math]}$ 以每秒1单位的速度移动，设运动的时间为 $\text{[math]}$ ．

（1）求证 $\text{[math]}$ 为直角三角形．
（2）若 $\text{[math]}$ 为直角三角形，求 $\text{[math]}$ 的值．
（3）若 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，求 $\text{[math]}$ 的值．

如图：已知 $\text{[math]}$ 是等腰三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 上的中点，点E是射线 $\text{[math]}$ 上的一动点，点F是射线 $\text{[math]}$ 上的一动点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值．

如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°，其中正确的结论有( )

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

如图1，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，3），将Rt△AOB绕点B逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°）得到Rt△DCB．

（1）求AB的长；
（2）当旋转角α＝20°时，如图1，AB与CD交于点F，求∠BFC的度数；
（3）当旋转角α＝60°时，如图2，连接OD，求OD的长．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，作直线l垂直 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），已知点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），以 $\text{[math]}$ 为斜边作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在第一象限． $\text{[math]}$ 关于直线l的对称图形是 $\text{[math]}$ ．给出如下定义：如果点M在 $\text{[math]}$ 上或内部，那么称点M是△ABC关于直线l的“称心点”．

（1）当 $\text{[math]}$ 时，在点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）中， $\text{[math]}$ 关于直线l 的“称心点”是；
（2）当 $\text{[math]}$ 上只有1个点是 $\text{[math]}$ 关于直线l的“称心点”时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值；
（3）点H是 $\text{[math]}$ 关于直线l 的“称心点”，且总有 $\text{[math]}$ 的面积大于 $\text{[math]}$ 的面积，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．第一步，在 $\text{[math]}$ 边上找一点 $\text{[math]}$ ，将纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 处，如图2，第二步，将纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 处，如图3．当点 $\text{[math]}$ 恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段 $\text{[math]}$ 的长为．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）如图1，当点F与点A重合时，求∠ABC的度数；
（2）若∠DAF＝∠DBA，
①如图2，当点F在线段CA上时，求∠ABC的度数；
②当点F在线段CA的延长线上，且BC＝7时，请直接写出△ABD的面积．

如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ABE是等边三角形，点D是射线BC上的任意一点（不与点B重合），连结AD，以DA为边在DA边的右侧作等边三角形ADF，连结FE并延长交BC于点G.探究下列问题：

（1） ∠EBC＝°.
（2）当A，E，D三点在同一直线上时，求∠EGD的度数.
（3）当A，E，D三点不在同一直线上且点D，G不重合时，求∠EGD的度数.

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E从A出发沿AC向点C运动，点F从O出发沿OC向C运动，两点同时出发，速度均为1个单位/秒，并且一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为t秒．

（1）求点B坐标．
（2）连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段ED，连接CD，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，作点D关于EF的对称点G，连接CG、BG，当t为何值时， $\text{[math]}$ 为直角三角形．

如图，在Rt $\text{[math]}$ ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点D为AB的中点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED交线段BC于点G，∠CDE的平分线DM交BC于点H．

（1）如图1，若α=90°，则线段ED与BD的数量关系是， $\text{[math]}$ =；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点C作CF $\text{[math]}$ DE交DM于点F，连接EF，BE．
①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；
②求证： $\text{[math]}$ ；
（3）如图3，若AC=2， $\text{[math]}$ ，过点C作过点C作CF $\text{[math]}$ DE交DM于点F，连接EF，BE，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值（用含m的式子表示）．

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