三角形的综合知识点题库

如图

（1）【原题初探】
小明在数学作业本中看到有这样一道作业题:如图1，P是正方形ABCD内一点,连结PA,PB,PC.现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P'CB,连接PP'.若PA= $\text{[math]}$ ，PB=3，∠APB=135°，求PC的长和正方形ABCD的边长.
（2）【变式猜想】
如图2，若点Р是等边△ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，请猜想∠APB的度数，并说明理由.
（3）【拓展应用】
聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题:如图3，在四边形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，请求出BD的长度.

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，以点 $\text{[math]}$ 为圆心画圆，与x轴交于 $\text{[math]}$ ；两点，与y轴交于 $\text{[math]}$ 两点，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的取值范围是.

如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形.如图①，在△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E.

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（1）求证：AE是△ABC的一条特异线；
（2）如图②，若△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数；
（3）若某等腰三角形是特异三角形，求此等腰三角形的顶角度数（直接写出答案即可）.

如图， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 旋转.

（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，且点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部时，求 $\text{[math]}$ 的长.

探究：如图1，△ABC是等边三角形，在边CB、AC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F.

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（1）求证：△BAE≌△CBD；
（2） ∠BFE=°.
（3）应用：将图1的△ABC分别改为正方形ABCM和正五边形ABCMN，如图2、3，在边CB、MC的延长线上截取BE=CD，连结BD、AE，延长DB交AE于点F，则图2中∠BFE=°；图3中∠BFE=°.
（4）拓展：若将图1的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠BFE=°（用含n的代数式表示）.

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（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E ，与AB的延长线相交于F ，使BF＝CE ．
①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE ，用含k的代数式表示△ABD的面积为多少；

②求证：△AEF是等腰三角形；
（2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H ，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x ， ∠BAC＝y ，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P ， AF上找一点Q ， FD上找一点M ，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM周长的最小值．（只需直接写出结果）

八年级数学课上，老师出示了如图框中的题目．

如图，在等边三角形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 上，点D在 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，试确定线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并说明理由．

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图片_x0020_100027 小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答

（1）特殊情况入手探索：
当点E为 $\text{[math]}$ 的中点时，如图1，确定线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系．请你直接写出结论： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“ $\text{[math]}$ ”，“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）
（2）一般情况进行论证：
对原题中的一般情形，二人讨论后得出（1）中的结论仍然成立，并且可以通过构造一个三角形与 $\text{[math]}$ 全等来证明．以下是他们的部分证明过程：

证明：如图2，过点E作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点F．（请完成余下的证明过程）
（3）应用结论解决问题：
在边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形 $\text{[math]}$ 中，点E在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点D在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ （直接写出结果）

已知：△ACB，∠ACB=90°，点D在AB延长线上，连接CD，若∠BCD+∠A=∠D．

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（1）如图1，求∠D的度数；
（2）如图2，延长CB至点H，连接AH、DH，若∠HAD=∠HCD，求证：DH⊥AD；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AH上，连接DF，交HC于点E，当∠ADF=2∠DAC时，过点F作FG//CH交AD于点G，若AG=2DG，DB=2，求△ACD的面积．

如图1，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 把一块含 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 的直角顶点 $\text{[math]}$ 放在 $\text{[math]}$ 的中点上（直角三角板的短直角边为 $\text{[math]}$ 长直角边为 $\text{[math]}$ ），将直角三角板 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 点按逆时针方向旋转．

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（1）在图1中． $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．
①求证： $\text{[math]}$ ；

②在这一过程中，直角三角板 $\text{[math]}$ 与三角形 $\text{[math]}$ 的重叠部分为四边形 $\text{[math]}$ 请说明四边形 $\text{[math]}$ 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明如何变化的；若不发生变化，请求出其面积．
（2）继续旋转至如图2的位置，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 是否仍然成立？（请写出结论，不用证明．）
（3）继续旋转至如图3的位置，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 是否仍然成立？（请写出结论，不用证明．）

如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点O是坐标原点，点A的坐标为（﹣30，0），点B的坐标为（﹣30，30），△CDE是位于y轴的左侧且边长为8 $\text{[math]}$ 的等边三角形，边DE垂直于x轴，△CDE从点C与点O重合的位置开始，以每秒2个单位长的速度先沿点O到点A的方向向左平移，当DE边与直线AB重合时，继续以同样的速度沿点A到点B的方向向上平移，当点D与点B重合时，△CDE停止移动．

（1）求直线OB的函数表达式；
（2）当△CDE移动3秒时，请直接写出此时点C的坐标为；
（3）在△CDE的平移过程中，连接AE ， AC ，当△ACE的面积为36 $\text{[math]}$ 时，请直接写出此时点E的坐标为．

如图，等腰三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点D ， $\text{[math]}$ ．

（1）求出 $\text{[math]}$ 的大小（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
（2）延长 $\text{[math]}$ 至点E ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F ．
①依题意补全图形；

②用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

已知 $\text{[math]}$ ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为线段CB上一点（不与C、B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE＝∠AED，设∠BAD＝α，∠CDE＝β．

（1）如图1，
①若∠BAC＝50°，∠DAE＝36°，则α＝ ▲ ， β＝ ▲ ；

②写出α与β的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，写出α与β的数量关系，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系内有一正方形OABC，点C坐标为（0，4），点D为AB的中点，直线y=- $\text{[math]}$ 经过点C，D并交x轴于点E，△BCD沿着CD折叠，顶点B恰好落在OA边上方F处，连接BE，点P为直线CD上的一动点，点Q是线段BE的中点.连接BP，PQ.

（1）求点F的坐标；
（2）求出点P运动过程中，PO+PA的最小值；
（3）是否存在点P，使其在运动过程中满足△EQP $\text{[math]}$ △EBC，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则下列三个结论：① $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．其中正确的是．

在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点，∠ADE＝∠AEB，AF平分∠BAC交DE于G，交BE于F

（1）在图1中找1条和EF相等得线段，并证明；
（2）如图2，延长DE与BC交于点H，若AG＝kGF，猜想并验证BC与CH的数量关系（用含k得式子表示）

已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F.

（1）如图（1），求证：DE＝DF；
（2）如图（2），若BE＝3AE，求证：CF＝ $\text{[math]}$ BC.
（3）如图（3），若BE＝ $\text{[math]}$ AE，则CF＝BC；在图（1）中，若BE＝4AE，则CF＝BC.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，射线AF是 $\text{[math]}$ 的平分线，交BC于点D，过点B作AB的垂线与射线AF交于点E，连结CE，M是DE的中点，连结BM并延长与AC的延长线交于点G.则下列结论正确的是.

① $\text{[math]}$ ②BG垂直平分DE ③ $\text{[math]}$ ④ $\text{[math]}$ ⑤ $\text{[math]}$

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AD⊥BC于点D，点E为边AD上一点，以AE为腰在直线AD左侧作等腰三角形AEF，使AF＝AE，∠EAF＝50°，EF与AB交于点G，连接BE，BF．

（1）求∠FAG的度数；
（2）请判断BE与BF是否相等？并说明理由；
（3）点M为BE上一点，连接DM，GM，CE，若GM $\text{[math]}$ BF，DM $\text{[math]}$ CE，请直接写出∠DMG的度数．

如图，点A是x轴上一个定点，点B从原点O出发沿y轴的正方向移动，以线段 $\text{[math]}$ 为边在y轴右侧作C等边三角形 $\text{[math]}$ ，以线段 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 上方作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，随点B的移动，下列四个结论；① $\text{[math]}$ ；②直线 $\text{[math]}$ 与x轴所夹的锐角恒为 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④随点B的移动，线段 $\text{[math]}$ 的长逐渐增大．其中正确结论的个数为（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

如图，在△ABC中，AB $\text{[math]}$ CB $\text{[math]}$ 9，∠B $\text{[math]}$ 90°，点O是△ABC内一点，过点O分别作边 AB、BC的垂线，垂足分别为点D、E，且OD²＋OE² $\text{[math]}$ 36，连接OA、OC，则△AOC面积的最小值为．

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