三角形的综合知识点题库

综合与实践：

我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.

（1）请你用所学知识判断乐乐说法的符合题意性.
如图，已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为锐角三角形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

求证： $\text{[math]}$ .
（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是时，它们也会全等.

如图，平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$

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（1）求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的坐标；
（2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 上有一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图2，当点 $\text{[math]}$ 在第二象限时， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ；
（3）在(2)的条件下，如图3，当点 $\text{[math]}$ 在第一象限时，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

如图， $\text{[math]}$ 于点O, $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 绕点O旋转时，记 $\text{[math]}$ .

（1）过点B作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点C，作射线 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点D.
①依题意补全图形，求 $\text{[math]}$ 的度数;

②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长.
（2）若 $\text{[math]}$ 上存在一点P，且 $\text{[math]}$ ，作射线 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点Q，直接写出 $\text{[math]}$ 长度的最大值.

直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平分线交于点C，过点C作一条直线 $\text{[math]}$ 分别与直线PA，QB相交于点D，E．

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（1）如图（1），当直线l与PA垂直时，求证： $\text{[math]}$ ．
（2）如图（2），当直线l与PA不垂直且点D，E在AB同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）当直线l与PA不垂直且点D，E在AB异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出AD，BE，AB之间的数量关系（不用证明）．

如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC边上一动点，G是BC边上的一动点，GE∥AD分别交AC、BA或其延长线于F、E两点

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（1）如图1，当BC＝5BD时，求证：EG⊥BC；
（2）如图2，当BD＝CD时，FG+EG是否发生变化？证明你的结论；
（3）当BD＝CD ， FG＝2EF时，DG的值＝．

如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的点，将边 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处.当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时， $\text{[math]}$ .

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O ，延长AC至点P ，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F ．则下列结论：①BP=AD：②BF=CP：③AC+CD=AB：④PO⊥BE；⑤BP=2PF．其中正确的是（）

A . ①③⑤ B . ①②③④ C . ①③④⑤ D . ①②③④⑤

如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 是等腰三角形，且 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 6 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图1，在 $\text{[math]}$ 中，∠B=90°， $\text{[math]}$ ，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为 $\text{[math]}$ ．

（1）问题发现：
$\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
（2）拓展探究：
试判断：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决：
当 $\text{[math]}$ 旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．

如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，动点P从点A出发，沿AB以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向点B运动，点Q从点A出发，沿折线AC﹣CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作AC的平行线与过点Q作AB的平行线交于点D，当有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为S，运动的时间为t（秒）

（1）点P到AC的距离为（用含t的代数式表示）
（2）当点D落在BC上时，求t的值
（3）当△PQD与△ABC重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式（S＞0）

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴的负半轴交于点A ，与y轴交于点B．点C在第四象限， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

（1）点B的坐标为，点C的横坐标为；
（2）设 $\text{[math]}$ 与x轴交于点D ，连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ 轴于点E ．若射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点P，D分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上的任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）当点P，H重合时， $\text{[math]}$ ．
（2）连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，则m $\text{[math]}$ （填“ $\text{[math]}$ ”，“ $\text{[math]}$ ”，“ $\text{[math]}$ ”，“ $\text{[math]}$ ”或“ $\text{[math]}$ ”）；

如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ （0°＜ $\text{[math]}$ ＜120°）得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，F为CD上一点，且DF＝2CF.

（1）当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数；
（2）当线段BF的长取最小值时，求线段AG的长；
（3）请直接写出△ADE的周长的最大值.

如图，点 $\text{[math]}$ 为定角 $\text{[math]}$ 的平分线上的一个定点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互补，若 $\text{[math]}$ 在绕点 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，其两边分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．

（1）试判断 $\text{[math]}$ 的形状，并给出证明；
（2） $\text{[math]}$ 的值是否为定值？若是请求出这个定值，若不是，请说明理由；
（3）四边形 $\text{[math]}$ 的面积是否为定值？请说明理由．

如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF．

（1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明；
（2）求证：∠BDF＝∠EFC；
（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求 $\text{[math]}$ 的值（用含k的代数式表示）．

如图所示， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，求 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）如图2，连接 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）如图3，在（2）的条件下， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．

（1）如图1，当α＝60°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．

在△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB.若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F.

（1）如图1，若∠ABE＝75°，BD＝4，求AC的长；
（2）如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H.若∠ABD＝30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，若AB＝4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D＋ $\text{[math]}$ A′C最小时，求S_△A′BC.

如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB.点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE.

（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB＝ $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值.

如图1，在 $\text{[math]}$ 中，∠A=120°，∠C=20°，BD平分∠ABC交AC于点D．

（1）求证：BD=CD．
（2）如图2，若∠BAC的角平分线AE交BC于点E，求证：AB+BE=AC．
（3）如图3，若∠BAC的外角平分线AE交CB的延长线于点E，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论．

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