题目

在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为，B点的对应点为． （1）求旋转后的图象解析式； （2）求、点的坐标； （3）连结．动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，试探究：是否存在使为等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 答案：解：（1）旋转后的图象解析式为．  ………………………  1分 （2）由旋转可得（4，-1）、（1，-4）．  …………………………  3分 （3）依题意，可知．若为直角三角形，则同时也是等腰三角形，因此，只需求使为直角三角形的值． 分两种情况讨论： ①当是直角，时，如图1， ∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=MN=t， ∴B′M=8-t， ∵， ∴．  …………  4分 解得  （舍去负值）， ∴．  ………………  5分 ②当是直角，时， 如图2， ∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=t， ∴B′M=MN=8-t， ∵， ∴， 解得  ． ∵，， ∴此时t值不存在．  ……………  6分 （此类情况不计算，通过画图说明t值不存在也可以） 综上所述，当时，为等腰直角三角形．  ………………  7分

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