三角形的综合知识点题库

已知：如图1，在△ABC中，点D在AB上，连接CD．DE平分∠BDC交BC于点E，且DE∥AC, 若F为AC的中点，连接DF．

图片_x0020_100013 图片_x0020_100014

（1）求证：DF⊥DE．
（2）若BE：CE=2：3，S_△_CDE＝9，求△ABC的面积．
（3）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥DE交AB于点N，交CD于点G，若BD=a，DG=b.试求CD的长（用a、b的代数式表示）．

如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD

图片_x0020_100021

（1）如图1,当点D是BC边上的中点时，则S_△_ABD:S_△_ACD=（直接写出答案）
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，S_△_ABD:S_△_ACD= (用含m,n的代数式表示)．
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE,连结BE，如果AC=2,AB=4,S_△_BDE =6,求△ABC的面积．

已知，在等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的高.

图片_x0020_100013

（1）操作发现:如图1，过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ .请直接写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系；
（2）如图2，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上任意一点（不与 $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ .判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
（3）拓广探索:
如图3，点 $\text{[math]}$ 为等边三角形 $\text{[math]}$ 内任意一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由.

如图，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线． $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．以下五个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 是等边三角形；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确结论的有（）个

图片_x0020_100010

A . 5 B . 4 C . 3 D . 2

如图

（1）如图①，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ ，
求证： $\text{[math]}$
（2）探究：如图②，在四边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 边上，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$
（3）拓展：如图③，在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长

在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°

图片_x0020_1843188280

（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF
①求证：△AED≌△AFD；

②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．

如图，等边△ABC中，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重合）．过点D作DE∥BC交AC于点E ．把△ADE沿直线DE折叠，点A的对应点为P ．

图片_x0020_100030

（1）求证：△ADE为等边三角形；
（2）连接AP ，点D在运动过程中线段AP与线段DE是否存在一定的位置关系？证明你的结论；
（3）若等边△ABC的边长为3，当△BDP为直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的值．

（1）问题提出
如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是．
（2）问题探究
如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
（3）问题解决
如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD ，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

在等边 $\text{[math]}$ 中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且 $\text{[math]}$ ．

图片_x0020_1234807870

（1）如图1，若点E是AB的中点，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时， $\text{[math]}$ 中的结论“ $\text{[math]}$ ”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．

如图，等边 $\text{[math]}$ 中，点P是 $\text{[math]}$ 边上一点，作点C关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点D ，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点E ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，依题意补全图1，并直接写出 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，
①求证： $\text{[math]}$ ；

②用等式表示线段 $\text{[math]}$ 之间的数量关系并加以证明．

已知一个等边三角形纸片 $\text{[math]}$ ，将该纸片放置在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为坐标原点，使边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴重合，点 $\text{[math]}$ 落在第一象限，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 垂直于 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）如图①，若点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

（Ⅱ）如图②，将四边形 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上的点为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为折痕，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且使 $\text{[math]}$ 轴．

①试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并证明你的结论；

②求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅲ）如图③，将四边形 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 点重合， $\text{[math]}$ 为折痕，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，求 $\text{[math]}$ 的值（直接写出结果即可）．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）特例发现：如图1，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 落在直线 $\text{[math]}$ 上时，
①求证： $\text{[math]}$ ；

②填空： $\text{[math]}$ 的值为 ▲ ；
（2）类比探究：如图2，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 相交时，在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .探究 $\text{[math]}$ 的值（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示），并写出探究过程；
（3）拓展运用：在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，将线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，过点Q作 $\text{[math]}$ ，交射线AC于点M．设点P的运动时间为t秒．

（1）线段MP的长为（用含t的代数式表示）．
（2）当点M与点C重合时，求t的值．
（3）设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为S（ $\text{[math]}$ ），求S与t之间的函数关系式．
（4）取线段PM的中点H，作直线BH，当直线BH将 $\text{[math]}$ 分成的两部分图形的面积比为1：3时，直接写出此时t的值．

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED ，联结CE ．

（1）求证：AD∥CE；
（2）求CE的长．

（1）如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若a，b满足 $\text{[math]}$ ，求A、B的坐标．
（2）在（1）的条件下，点C为线段AB上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为E、F、若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段EF的长．
（3）如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 的角平分线的交点，若a，b满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交x轴于N，延长OP交AB于M，直接写出AB、ON、PM之间的数量关系（不需要写出证明过程）．

如图，在四边形ABCD中，AB=AD ， CB=CD ，对角线AC ， BD相交于点O ，下列结论中：

①∠ABC=∠ADC；

②AC与BD相互平分；

③AC ， BD分别平分四边形ABCD的两组对角；

④四边形ABCD的面积S= $\text{[math]}$ AC•BD ．

正确的是（填写所有正确结论的序号）

如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，

其中正确的为（请填写结论前面的序号）．

在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是BC边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，作等腰 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D，E在直线AC两旁，连接CE．

（1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出BC与CE的位置关系；
（2）如图2，当 $\text{[math]}$ 时，过点A作 $\text{[math]}$ 于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD，CD， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

综合与实践

（1）问题情境：

数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在 $\text{[math]}$ 中，D是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．求证 $\text{[math]}$ ．

独立思考：

请解答王老师提出的问题．
（2）实践探究：
在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长 $\text{[math]}$ 至点E，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的延长线相交于点F，点G，H分别在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在图中找出与 $\text{[math]}$ 相等的线段，并证明．”
（3）问题解决：
数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当 $\text{[math]}$ 时，若给出 $\text{[math]}$ 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．”

将 $\text{[math]}$ 绕着点A逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，当点D恰好落在 $\text{[math]}$ 上时，连接 $\text{[math]}$ ．
①当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
②当 $\text{[math]}$ 满足什么条件时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形？说明理由．
（2）如图2，当旋转角为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点P，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

三角形的综合 知识点题库

三角形的综合知识点题库