三角形的综合知识点题库

如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t.

图片_x0020_100042

（1）求证：AF＝AM；
（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；
（3）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有 $\text{[math]}$ .

在△ABC中，∠BAC=110°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B，C重合），点E在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n°.

图片_x0020_100032

（1）如图①，当点D在边BC上时，若n=30，则∠BAD=，∠CDE=.
（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，请探索∠BAD与∠CDE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当点D运动到点C的右侧时，∠BAD与∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请利用图③画出图形，并说明理由.

如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ．

图片_x0020_100025

（1）在 $\text{[math]}$ 的右侧用尺规作等边 $\text{[math]}$ （不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下连接 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的度数.（本题的图不用再尺规作图）

如图，在△ABC和△CDE中．CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE= $\text{[math]}$ ，AD，BE相交于点O．点M，N分别是线段AD，BE的中点．以下结论：①AD=BE；②∠DOE= $\text{[math]}$ ；③△CMN是等边三角形；④连接OC．则OC平分∠AOE．其中正确的结论是（）

图片_x0020_100012

A . ①②④ B . ①③④ C . ②③④ D . ①②③

数学阅读：在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著名的数学家秦九韶（ $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 年）提出了“三斜求积术，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，简称秦九韶公式，在海伦（公元 $\text{[math]}$ 年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前 $\text{[math]}$ 年 $\text{[math]}$ 公元前 $\text{[math]}$ 年）得出的，故我国称这个公式为海伦-秦九韶公式，它的表述为：三角形三边长分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则三角形的面积 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

请利用海伦-秦九韶公式解决以下问题：

如图①，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

图片_x0020_100020

图①

图片_x0020_100021

图②

（1） $\text{[math]}$ 的面积；
（2）设 $\text{[math]}$ 边上的高为h，求h的值；
（3）如图②， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的两条角平分线，它们的交点为I，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

探索与应用：

（1）探索1：如图1，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 外一动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，填空：当点 $\text{[math]}$ 位于时，线段 $\text{[math]}$ 长取得最大值，且最大值为；
（2）探索2：如图2，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 外一动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直角边作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 和等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
①请找出图中与 $\text{[math]}$ 相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段 $\text{[math]}$ 长的最大值．
（3）类比应用：如图3，在平面直角坐标系中，已知点 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 外的两个动点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 长的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标．
（提示：在图4中作PN⊥PA，PN=PA，连接BN后，利用探索1和探索2中的结论，可以解决这个问题）

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 延长线上的点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列说法：① $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 面积相等； ② $\text{[math]}$ ； ③ $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．其中正确的是（）

图片_x0020_441013732

A . ①② B . ①③ C . ①③④ D . ①④⑤

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 点D为直线 $\text{[math]}$ 上一点，点E为 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）求证: $\text{[math]}$ ；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数；
（3）点P是 $\text{[math]}$ 的外心，当点D在直线 $\text{[math]}$ 上运动，且点P恰好在 $\text{[math]}$ 内部或边上时，直接写出点P运动的路径的长，

已知如图，△ABC中，AB＝AC=5cm，BC＝8cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s，当Q停止平移时，点P也停止运动．过P做PE $\text{[math]}$ BC ，交AB于E ，连结EQ ．设运动时间为t(s)（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ=QC？
（2）设△PQC的面积为y(cm²)，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使S_△PQC∶S_{四边形AEQP}＝3∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t ，使PQ⊥EQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（教材呈现）如图是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容：

如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，画出 $\text{[math]}$ 以点 $\text{[math]}$ 为旅转中心、逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后的三角形.

（1）如图②，把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系和位置关系，并说明理由： ▲ .
（2）如图③，把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 恰好在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则① $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；③线段 $\text{[math]}$ 的长是.
（3）（拓展）
请在图①中画出 $\text{[math]}$ 以点 $\text{[math]}$ 为旋转中心、逆时针旋转 $\text{[math]}$ 后的，写出旋转前后 $\text{[math]}$ 与其对应线段的数量关系和位置关系： ▲ .

某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．在图①中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；在图②中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．图③是该同学所做的一个实验：他将 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 放在 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 上（即点 $\text{[math]}$ 、E在 $\text{[math]}$ 上），并将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 方向移动．在移动过程中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点始终在 $\text{[math]}$ 边上（移动开始时点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合），在 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 方向移动的过程中，该同学通过观察和猜想产生以下两个问题，请同学们帮助解答．

（1）能否将 $\text{[math]}$ 移动至某位置，使 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的连线与 $\text{[math]}$ 平行？如果能，求出 $\text{[math]}$ 的度数；
（2） $\text{[math]}$ 在移动的过程中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的度数之和是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．

如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，BD⊥AC交AC于点D ．动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为4cm/s，设出发时间为ts．

（1）求BC上的高；
（2）当CP⊥AB时，求t的值；
（3）当点P在BC边上运动时，若△CDP是等腰三角形，求出所有满足条件的t的值．

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC，垂足为D，F为AD中点．点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为1cm/s；点E为点P关于AD的对称点．连接PQ、FQ、EF、AE．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）当PQ∥AE时，求t的值；
（2）设四边形AEPQ的面积为y（cm²），试确定y与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠AFQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC边上，AD＝AE，连接DE，取BC边的中点O，连接DO并延长到点F，使OF＝OD，连接CF．

（1）填空：判断△CEF的形状为．
（2）将（1）中△ADE绕点A旋转，连接CE，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）若AB＝6，AD＝4，将△ADE由图1位置绕点A旋转，当点B，E，D三点共线时，请直接写出△CEF的面积．

如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方旋转90°，得到AG，连接GC，HB．

（1）证明： $\text{[math]}$ AHB≌ $\text{[math]}$ AGC
（2）如图2，连接HG和GF，其中HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；

②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时， $\text{[math]}$ AQG为等腰三角形？

如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且∠1=∠2=22.5°，下列结论：①∠1=∠3；②BD+DH=AB；③2AH=BH；④若CD= $\text{[math]}$ ，则BH=3；⑤若DF⊥BE于点F，则AE-FH=DF；正确的有（）个.

A . 5 B . 4 C . 3 D . 2

如图，∠AOB=120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON=OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是．（填序号）

如图

（1）阅读理解
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，PB＝ $\text{[math]}$ ， PC＝2．求∠BPC的度数．
为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为；在△PAP′中，易证∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度数为，综上可得∠BPC的度数为；
（2）类比迁移
如图2，点P是等腰Rt△ABC内的一点，∠ACB＝90°，PA＝2，PB＝ $\text{[math]}$ ， PC＝1，求∠APC的度数；
（3）拓展应用
如图3，在四边形ABCD中，BC＝3，CD＝5，AB＝AC＝ $\text{[math]}$ AD．∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．

等边三角形ABC的边长为6，点O是三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的两边OF，OG与AB，BC分别相交于D，E，∠FOG绕O点顺时针旋转时，下列四个结论：①OD＝OE；②S_△ODE＝S_△BDE；③S_四_边_形ODBE＝ $\text{[math]}$ ；④△BDE周长最小值是9．其中正确个数是（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

如图1，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB = 4，OB = 3．

（1）试判断△AOB的形状，并说明理由；
（2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC = BD．求AC + OD的最小值．

三角形的综合 知识点题库

三角形的综合知识点题库