题目

已知， ，，其中e是无理数且e=2.71828…，. （1）若a=1，求的单调区间与极值； （2）求证：在（1）的条件下，； （3）是否存在实数a，使的最小值是-1？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 答案：解：（1）当a=1时，，，          令，得x=1. 当时，，此时单调递减；                        当时，，此时单调递增.                          所以的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e），的极小值为.                                                                       （2）由（1）知在上的最小值为1.                          令，，所以.             当时，，在上单调递增，                      所以. 故在（1）的条件下，.                                   （3）假设存在实数a，使（）有最小值-1. 因为，                                       ①当时，，在上单调递增，此时无最小值；   ②当时，当时，，故在（0，a）单调递减；当时，，故在（a，e）单调递增；                              所以，得，满足条件；            ③当时，因为，所以，故在上单调递减. ，得（舍去）；                 综上，存在实数，使得在上的最小值为-1.        

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