三角形的综合知识点题库

问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE.问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=4 $\text{[math]}$ 。点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是。

如图，在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，下列结论:① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．

其中正确的有（）．

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A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

如图， $\text{[math]}$ 中，∠ABC＝∠ACB ，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE ，连接DE ．

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（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系（不需证明）．

图1的长方形ABCD中，E点在AD上，且BE=2AE．今分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为何？（）

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A . 30 B . 32.5 C . 35 D . 37.5

如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足：（m＋n ）²＋|n－6| ＝0.

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（1）求：①m，n的值；② S_△_ABE的值；
（2） D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标.
（3）如图2，点E为y轴正半轴上一点，且 ∠OAE＝ 30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段OA上一动点，试求OM＋MN 的最小值（图1与图2中点A的坐标相同）.

如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．

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（1）求证：AE＝BD；
（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；
（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2 $\text{[math]}$ ，CD＝ $\text{[math]}$ ，求线段AB的长．

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF.如图①，当点E在BC上时，易证AF﹣CF= $\text{[math]}$ BF（不需证明），点E在CB的延长线上，如图②：点E在BC的延长线上，如图③，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明.

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巩固与提高：如图：

（1）基础巩固：如图①， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
（2）尝试应用:如图②，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E，F分别为边 $\text{[math]}$ 上两点，将菱形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，点A恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点P处，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
（3）拓展提高:如图③，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点P是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP ．

（1）如图1，点A ， B ， D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；
（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C ， D ， P恰好在同一条直线上．
①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；

②连接BD ，交AE于点F ．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．

在一平面内，线段 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ，将这四条线段顺次首尾相接．把 $\text{[math]}$ 固定，让 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 开始逆时针旋转角 $\text{[math]}$ 到某一位置时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 将会跟随出现到相应的位置．

（1）论证如图1，当 $\text{[math]}$ 时，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）发现当旋转角 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的度数可能是多少？
（3）尝试取线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 距离最大时，求点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离；
（4）拓展 ①如图2，设点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的平分线所在直线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
②当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 下方，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直时，直接写出 $\text{[math]}$ 的余弦值．

已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D ．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．

（1） [猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是．
（2） [探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3） [拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC ， AD＝10，求CD的长．

（1）如图①，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E，F分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ .请直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系：；
（2）如图②，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E，F分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E，F分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所在直线上的点，且 $\text{[math]}$ .请画出图形（除图②外），并直接写出线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系.

如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别在x轴、y轴的正半轴上，点C在第二象限， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．过C作 $\text{[math]}$ 轴于点D ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F ，交x轴负半轴于点E ．

（1）若 $\text{[math]}$ ．
①填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②求点C坐标；
（2）探究线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动．同时，动点Q从点C出发，沿CB以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．当点P不与点A、C重合时，连结PQ．作线段PQ的垂直平分线交折线 $\text{[math]}$ 于点E，交AB于点F，交PQ于点G，连结CG．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）用含t的代数式表示线段CP的长度为．
（2）当PQ与AB平行时，求t的值．
（3）当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求t的值．
（4）当 $\text{[math]}$ 时，直接写出t的值．

如图， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线 $\text{[math]}$ 运动，点Q沿折线 $\text{[math]}$ 运动，且它们的速度都为 $\text{[math]}$ ．当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ ．

（1）当点Q在线段 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 的长为（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 的长为（ $\text{[math]}$ ）（用含t的式子表示）；
（2）当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的一条边垂直时，求t的值；
（3）在运动过程中，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，直接写出t的值．

如图， $\text{[math]}$ ABC中，过点A，B分别作直线AM，BN，且AM $\text{[math]}$ BN，过点C作直线DE交直线AM于D，交直线BN于E，设AD＝a，BE＝b.

（1）如图1，若AC，BC分别平分∠DAB和∠EBA，求∠ACB的度数；
（2）在（1）的条件下，若a＝1，b＝ $\text{[math]}$ ，求AB的长；
（3）如图2，若AC＝AB，且∠DEB＝∠BAC＝60°，求DC的长.（用含a，b的式子表示）

如图，△ACB中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为边BC上一点（不与点C重合）， $\text{[math]}$ ，点E在AD的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F．

（1）依题意补全图形；
（2）求证： $\text{[math]}$ ；
（3）用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明．

我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B'C'，当a+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”.

（1） [特例感知]在图2，图3中，△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图2，当△ABC为等边三角形，且BC＝6时，则AD长为.

②如图3，当∠BAC＝90°，且BC＝7时，则AD长为.
（2） [猜想论证]在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD或延长B'A，…）
（3） [拓展应用]如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP.若△PAD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长.

如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm，动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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