题目

已知一个等边三角形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，使边与轴的正半轴重合，点落在第一象限，过点作垂直于轴，垂足为点．（Ⅰ）如图①，若点坐标为，求的长；（Ⅱ）如图②，将四边形折叠，使点落在线段上的点为点，为折痕，点在上，点在上，且使轴． ①试判断四边形的形状，并证明你的结论； ②求的值；（Ⅲ）如图③，将四边形折叠，使点落在线段上的点与点重合，为折痕，点在上，点在上，求的值（直接写出结果即可）．答案：解：（Ⅰ）如图①，∵ △AOB 是等边三角形，点 A 坐标为 (0,4) ， ∴ ∠AOB=60° ， OB=OA=4 ， ∴ ∠BOC=30° ，∵ BC⊥x 轴， ∴在 Rt△OBC 中， BC=12OB=12×4=2 ．（Ⅱ）①如图，由翻折可得 △AHK≅△DHK ， ∴ AH=HD ， AK=KD ， ∠AHK=∠KHD ， ∵ DK//OA ，∴ ∠AHK=∠HKD ， ∴ ∠KHD=∠HKD ， ∴ HD=KD ， ∴ AH=HD=DK=KA ， ∴四边形 AHDK 为菱形． ②如图，∵ △AOB 是等边三角形， ∴由折叠图形可得 ∠A=∠HDK=60° ， ∵ DK//OA ，∴ ∠OHD=60° ， ∠ODH=30° ， ∴ OHOD=tan30°=33 ．（Ⅲ）设A(0，4)，H(0，n)，则OH=n，AH=CH=4-n， ∵等边三角形AOB，A(，4)， ∴OB=OA=4，由（1）得BC= 12 OB=2， ∵BC⊥x轴， ∴OC= 42−22=23 ， ∵BC⊥x轴， ∴ OC2+OH2=CH2 ，即 (23)2+n2=(4−n)2 ，解得n= 12 ， ∴ OHOC=1223=312 ．

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