题目

如图，在平面直角坐标系内有一正方形OABC，点C坐标为（0，4），点D为AB的中点，直线y=- 经过点C，D并交x轴于点E，△BCD沿着CD折叠，顶点B恰好落在OA边上方F处，连接BE，点P为直线CD上的一动点，点Q是线段BE的中点.连接BP，PQ. （1） 求点F的坐标； （2） 求出点P运动过程中，PO+PA的最小值； （3） 是否存在点P，使其在运动过程中满足△EQP △EBC，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：∵四边形ABCO是正方形，点D为AB的中点， ∴OA=OC=AB=BC=4，AD=BD=2， ∴点B（4，4） ∵△BCD沿着CD折叠，顶点B恰好落在OA边上方F处， ∴BC=CF=4，DB=DF=2，BF⊥CD ∵直线AD的解析式为y=- 12x+4 ， ∴设直线BF的解析式为y=2x+b， 8+b=4 解之：b=-4， ∴直线BF的解析式为y=2x-4， 过点F作MN∥x轴，分别交y轴，AB于点M，N， 设点F（m，2m-4），则CM=8-2m， ∴（8-2m）2+m2=42 解之：m1=4（舍去），m2=125=2.4 ∴2m-4=2×125-4=45=0.8 ∴点F（2.4，0.8）. 解：∵点B关于直线CD的对称点F的坐标为（2.4，0.8） ∴将点F向下平移45个单位，向右平移85个单位可得到点A， ∴点B这样平移可得到点A关于直线CD的对称点A＇285，165 ∴PO+PA的最小值即为A'O的长为2852+1652=4655. 解：如图 由题意可知AB=AE=4，∠AEB=45°， BE=2×42=42，QE=22，CE=42+82=45 当PQ∥CB时，△EQP∽△EBC，点Q为BE的中点， ∴点P1与点D重合， ∵AB=OA=4 ∴AD=BD=2， ∴点P（4，2）； ∵∠ABE=135°， ∴当∠QP2E=∠CBE=90°，∠CBE=∠CBE， ∴△EBC∽△EQP， ∴P2QBC=QECE即P2Q4=2245 解之：P2Q=2105 ∵点Q（6，2） 设点P2x，-12x+4 ∴x-62+-12x+4-22=21052   解之：x1=245=4.8，x2=325=6.4； 当x1=4.8时-12×4.8+4=1.6 当x2=6.4-12×6.4+4=0.8 ∴点P2（4.8，1.6）或（6.4，0.8） 故答案为：点P坐标（4，2），（4.8，1.6），（6.4，0.8）

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