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高中数学

随着中国经济的迅速发展，市场石料需求急增．西部某县有丰富的优质石料，当地政府决定有序开发本县石料资源．因建立石料厂会破坏生态，该县决定石料开发走“开发治理结合，人类生态友好”的路线.当地政府请国家环保机构每年对该县与石料开发相关的生态（以下简称生态）进行评估．若生态开始变差，则下一年石料厂将停产（本问题中，时间以整数年为单位），生态友好后复产．该县在建石料厂之初投入巨资进行与之有关的生态建设，考虑到可持续发展，这种生态投入（以下简称生态投入）将逐年减少 $\text{[math]}$ （a是常数， $\text{[math]}$ ）亿元．该县从2021年起，若某年生态友好，则下一年生态变差的概率是 $\text{[math]}$ ；若某年生态变差，则下一年生态友好的概率为 $\text{[math]}$ ．模型显示，生态变差的概率不大于0.16683时，该县生态将不再变差，生态投入结束．

（1）若2021年该县生态变差的概率为 $\text{[math]}$ ，求该县2022年生态友好的概率；
（2）若2021年该县生态变差概率为 $\text{[math]}$ ，生态投入是40亿元，a为何值时，从2021年开始到生态投入结束，对该县总生态投入额最小？并求出其最小值．

一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），若汽车在时刻t的速度v（t）=t米/秒，那么此人（　　）

A . 可在7秒内追上汽车 B . 不能追上汽车，但其间最近距离为16米 C . 不能追上汽车，但其间最近距离为14米 D . 不能追上汽车，但其间最近距离为7米

已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

已知直线 $\text{[math]}$ ，则过圆 $\text{[math]}$ 的圆心且与直线 $\text{[math]}$ 垂直的直线 $\text{[math]}$ 的方程为.

已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线 $\text{[math]}$ 与以原点为圆心，以椭圆 $\text{[math]}$ 的短半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
（2）设 $\text{[math]}$ 是椭圆的上顶点，过点 $\text{[math]}$ 分别作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，设两直线的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点.

在单位圆中，已知角 $\text{[math]}$ 的终边与单位圆交于点 $\text{[math]}$ ，现将角 $\text{[math]}$ 的终边按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，记此时角 $\text{[math]}$ 的终边与单位圆交于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知命题 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，命题 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .若“ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 为真”，“ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 为假”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.