向量语言表述线面的垂直、平行关系知识点题库

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， $\text{[math]}$ BAD= $\text{[math]}$ ，AB=BC=1，

AD=2， E是AD的中点，0是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，如图2．

（1）证明：CD⊥平面A₁OC
（2）若平面A₁BE⊥平面BCDE，四棱锥A₁-BCDE的体积为36 $\text{[math]}$ ，求a的值.

已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（﹣1，0，﹣1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是

如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC $\text{[math]}$ BC,且AC=BC.

（1）求证：AM $\text{[math]}$ 平面EBC；
（2）求直线AB与平面EBC所成角的大小，
（3）求二面角A-BE-C的大小.

如图所示，直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点P，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出线段 $\text{[math]}$ 的长，若不存在，请说明理由.

如图，在四棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点．

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（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值；
（3）设 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上的点，若直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 的夹角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，且底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求平面EBD和底面ABCD的夹角余弦值.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.

如图，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

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（1）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；
（2）在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 所在的位置；若不存在，请说明理由.

如图所示，已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.

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（1）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；
（2）设 $\text{[math]}$ ，若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

已知长方体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点M，在 $\text{[math]}$ 上取一点N，使得直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则线段MN的最小值为.

如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是矩形，侧棱 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值；
（3）若 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，则棱 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ . 若存在，求线段 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由.

菱形ABCD中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

（1）证明：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值；
（3）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ 使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求 $\text{[math]}$ ；若不存在，说明理由.

如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成二面角的正弦值.

如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
（3）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．

如图，在四棱锥P—ABCD中， $\text{[math]}$ 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC， $\text{[math]}$ ， E为棱BC上的点，且 $\text{[math]}$

（1）求证：DE⊥平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
（3）设Q为棱CP上的点（不与C、P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图，在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（）

A . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成的角为45° C . 存在点 $\text{[math]}$ ，使得三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ D . 不存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为二面角 $\text{[math]}$ 的大小， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成的角

在正方体 $\text{[math]}$ 中，棱长为1，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时，四棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心

如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面为正方形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
（2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值．

如图，在平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则下列说法中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面 C . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$

如图，在正四棱柱 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E，F分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ 平面ACF：
（2）求点B到平面ACF的距离．

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