题目

如图，在直三棱柱中， ， 是的中点，是线段上的点， ， . （1） 求证：平面； （2） 求平面与平面所成二面角的正弦值. 答案： 证明：由已知得AB、BC、BB1两两互相垂直，分别以射线BC，BA，BB1为x轴正半轴，y轴正半轴，z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系B−xyz，设AB=a，由A1A=AB=22BC得B(0，0，0)，C(2a，0，0)，C1(2a，0，a)，A1(0，a，a)，E(2a2，a2，a2)，BE→=(2a2，a2，a2)，A1C→=(2a，−a，−a).∵A1C→⋅BE→=2a×2a2+(−a)×a2+(−a)×a2=0，∴A1C→⊥BE→，即A1C⊥BE.又∵BE⊂平面EBD，DE⊂平面EBD，A1C⊥ED，BE∩DE=E，∴A1C⊥平面EBD. 解：由（1）知：A1C→=(2a，−a，−a)是平面EBD的一个法向量，BA1→=(0，a，a)，BC1→=(2a，0，a).设平面A1BC1的一个法向量为n→=(x，y，z)，则{n⇀⋅BA1⇀=x×0+ay+az=0n⇀⋅BC1⇀=2ax+y×0+az=0，取z=1，得x=−22，y=−1.∴n→=(−22，−1，1)是平面A1BC1的一个法向量.设平面A1BC1与平面EBD所成二面角的平面角大小为θ，则0<θ<π，且|cosθ|=|A1C→⋅n→||A1C→|⋅|n→|=a104×4a=1010，∴sinθ=31010.∴平面A1BC1与平面EBD所成二面角的正弦值为31010.

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