题目

如图，在直角梯形 中， ， ，且 ， 是 的中点，将 沿 折起到 的位置，使平面 平面 . （1） 求二面角 的正弦值； （2） 在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，请求出点 所在的位置；若不存在，请说明理由. 答案： 解：取 BE 的中点 O ，由题意可得四边形 ABCE 是正方形， 则 SO⊥BE ， CO⊥BE ， 又因为平面 SBE ⊥ 平面 BCDE ，平面 SBE ∩ 平面 BCDE=BE ， SO⊂ 平面 SBE ， CO⊂ 平面 BCDE ， 所以 SO⊥ 平面 BCDE ， CO⊥ 平面 SBE ， 所以 SO⊥CO ，可得 OB,OS,OC 两两垂直，以 O 为原点， OB 、 OC 、 OS 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系， 不妨设 SB=SE=ED=BC=2 ，则 BE=CD=2 ， 则 S(0,0,1) ， B(1,0,0) ， C(0,1,0) ， D(−2,1,0) ， SB→=(1,0,−1) ， BC→=(−1,1,0) ， 设平面 SBC 的一个法向量为 n1→=(x1,y1,z1) ，则 {n1⇀⋅SB⇀=x1−z1=0n1⇀⋅BC⇀=−x1+y1=0 ， 令 x1=1 ，则 y1=1 ， z1=1 ，所以 n1→=(1,1,1) ， 设平面 SCD 的一个法向量为 n2→=(x2,y2,z2) ， SC→=(0,1,−1) ， SD→=(−2,1,−1) 则 {n2⇀⋅SC⇀=y2−z2=0n2⇀⋅SD⇀=−2x2+y2−z2=0 ，令 y2=1 可得 z2=1 ， x2=0 ，所以 n2→=(0,1,1) 记二面角 B-SC-D 的平面角为 θ ， 则 |cosθ|=|n1→⋅n2→||n1→|⋅|n2→|=1+13×2=63 ，所以 sinθ=1−(63)2=33 ， 所以二面角 B-SC-D 的正弦值为 33 . 解：假设直线 SB 上存在点 P ，使得 PD⊥ 平面 SBC ， 不妨设 P(a,0,1−a) ，所以 PD→=(−2−a,1,a) ， 又因为 n1→=(1,1,1) ，由 PD→//n1→ 得 −2−a1=11=a1 ，无解， 故不存在点 P ，使 PD⊥ 平面 SBC .

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