题目

如图,已知椭圆的焦点为F1、F2,A、B为顶点,离心率e=.(1)求证:A、F1、B、F2四点共圆;(2)以BF1为直径,作半圆O1,AF切半圆于E,交F1B延长线于F,求cosF的值.图20 答案：解析:(1)∵=,∴a2=2c2.又a2=b2+c2,∴b2+c2=2c2.∴b=c,即OA=OF1=OB=OF2.∴四边形AF1BF2是正方形.∴A、F1、B、F2四点共圆.(2)连结O1E.∵AF切⊙O1于E,∴O1E⊥AF.∴△O1EF∽△AF1F.∴.∴F1F=2EF.又由切线长定理得EF2=FB·FF1,∴BF=EF.∴O1B=EF,BO1=O1B+BF=EF.∴cosF=.

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